Утверждение верно в обе стороны. Доказательство короткое.
Обозначения: вершина пирамиды $A$, вершины правильного $n$-угольника основания $V_1,\dots ,V_n$, центр основания (центр описанной окружности) $O$, проекция $A$ на плоскость основания $H$.
1) Пусть все боковые рёбра равны: $A{V}_1=\cdots =A{V}_n$. Тогда для каждого $i$ $$A{V}_i^2=A{H}^2+H{V}_i^2.$$ Так как левые части равны и $A{H}^2$ однаково для всех $i$, то все расстояния $H{V}_i$ равны. Точка в плоскости, равноудалённая от всех вершин правильного $n$-угольника, совпадает с его центром $O$, значит $H=O$. Следовательно вершина $A$ лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через $O$.
2) Обратно, если $A$ лежит на этом перпендикуляре (то есть $H=O$), то для всех $i$ $$A{V}_i^2=A{O}^2+O{V}_i^2.$$ Поскольку $O{V}_i$ — радиусы окружности описанной около правильного $n$-угольника и равны, все $A{V}_i$ равны. Значит условие и обратное условие эквивалентны.
Комментарии и частные случаи:
- Для $n=3$ центр $O$ правильного треугольника совпадает с его описанным центром (он же центр масс и инцентр), поэтому вывод остаётся тем же.
- Для $n=4$ (квадрат) $O$ — пересечение диагоналей; аналогично.
- Возможны два зеркально симметричных положения вершины по разные стороны плоскости основания (над и под плоскостью): оба дают равные боковые рёбра. Тривиальная вырожденная ситуация $AH=0$ даёт $A=O$ в плоскости основания (непирамида).