Пусть заданы точки $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ и прямая $L:ax+by+c=0$. Ищем окружность с центром $(h,k)$ и радиусом $r$, проходящую через $A,B$ и касающуюся $L$.
Аналитический метод (шаги)
1. Уравнения прохождения через точки:
$$(h-x_1{)}^2+(k-y_1{)}^2=r^2,(h-x_2{)}^2+(k-y_2{)}^2=r^2.$$ Вычитая второе из первого, получаем уравнение перпендикулярного биссектора $AB$:
$$2(x_2-x_1)h+2(y_2-y_1)k=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2.$$ Обозначим кратко $p=x_2-x_1,q=y_2-y_1,s=\frac{x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2}{2}$. Тогда
$$ph+qk=s.\text{\hspace{1em}(1)}$$
2. Условие касания к прямой: расстояние от центра до $L$ равно радиусу:
$$\frac{|ah+bk+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=r.$$ Возведём в квадрат и подставим $r^2=(h-x_1{)}^2+(k-y_1{)}^2$:
$$\frac{(ah+bk+c{)}^2}{a^2+b^2}=(h-x_1{)}^2+(k-y_1{)}^2.\text{\hspace{1em}(2)}$$
3. Решение системы (1),(2). Подставляем из (1) $(k=(s-ph)/q)$ при $q\ne 0$ (или выражаем $h$, если $p\ne 0$), получаем квадратное уравнение по одной переменной (линейная подстановка в (2)). Его корни дают не более двух решений для $(h,k)$; затем $r$ определяется из $r^2=(h-x_1{)}^2+(k-y_1{)}^2$. Уравнение искомой окружности:
$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2.$$
Особые случаи: если $A=B$ — вырожденный; если прямая параллельна перпендикулярному биссектору, система может не иметь или иметь единственное решение (касание в особом положении). При возведении в квадрат знак абсолютной величины теряется — надо проверить, что найденный $(h,k)$ действительно даёт неотрицательный $r$ и удовлетворяет исходной (несокращённой) форме касания.
Геометрический (синтетический) подход через степени точки и симметрию — идея и интерпретация
- Центры всех окружностей, проходящих через $A$ и $B$, лежат на перпендикулярном биссекторе $AB$ (линия (1)).
- Для центра $C$ искомой окружности радиус $r$ равен $CA$. Условие касания к $L$ — расстояние от $C$ до $L$ равно $r$. Значит для $C$ выполняется
$$\mathrm{dist}(C,L)=CA,$$ то есть $C$ принадлежит параболе с фокусом в $A$ и директрисой $L$. Следовательно, центры искомых окружностей — точки пересечения перпендикулярного биссектора $AB$ и этой параболы. Пересечение даёт 0, 1 или 2 решения (соответственно — нет, единственная или две окружности). Аналогично можно взять фокусом точку $B$ — получится то же множество центров, потому что на биссекторе $CA=CB$.
Сравнение методов — преимущества и недостатки
Аналитический метод
- Плюсы: даёт явную, алгоритмическую процедуру и прямые формулы для вычисления координат центра и радиуса; удобно для численных вычислений и программной реализации.
- Минусы: требует алгебраических вычислений (линейная+квадратная система), возможны вычислительные и численные погрешности; надо контролировать вырожденные и граничные случаи и проверять знаки после возведения в квадрат.
Синтетический метод (через степени точки/параболу и симметрию)
- Плюсы: даёт чистую геометрическую интерпретацию (центр — пересечение биссектора и параболы), наглядность, простая конструкция с циркулем и линейкой в многих случаях; помогает сразу понять число решений и их геометрический смысл.
- Минусы: менее пригоден для получения численных координат без дополнительного вычисления пересечения кривых; требует более высокого геометрического понимания и построения параболы/пересечений; труднее формализовать в вычислительной среде.
Итог: аналитика — лучший выбор для вычислений и программирования; синтетика — лучший для понимания существования/числа решений и для конструктивной геометрии.