Рассмотрим общий аффинный оператор $T(x)=Ax+b$ ($A$ — невырожденная $2\times 2$-матрица). Условие: для любых двух соседних сторон квадрата заданы векторы $u,v$ с $|u|=|v|$ и $u\cdot v=0$ образ $T$ переводит квадрат в квадрат той же площади. Значит для любых таких $u,v$ выполняются
$$|Au|=|Av|,(Au)\cdot (Av)=0.$$ Положим $M=A^{T}A$. Тогда второе равенство даёт $u^{T}Mv=0$ для любых взаимно перпендикулярных $u,v$, откуда в силу произвольности ортонормальных пар следует $M=\lambda I$ для некоторого $\lambda >0$. Следовательно
$$A^{T}A=\lambda I\Rightarrow A=sQ,$$ где $s=\sqrt{\lambda }>0$ — однородное масштабирование, а $Q$ — ортогональная матрица (поворот или отражение). То есть линейная часть $A$ является подобием (однородное растяжение и ортогональное преобразование), поэтому любые правые углы и отношение длин сторон сохраняются вплоть до общего множителя $s$.
Требование сохранения площади квадрата даёт $|\det A|=1$. Поскольку $\det A=\det (sQ)=s^2\det Q$ и $|\det Q|=1$, получаем
$$|\det A|=s^2=1\Rightarrow s=1.$$ Отсюда $A=Q$ — ортогональная матрица.
Итог:
- Класс таких преобразований — аффинные отображения вида $x\mapsto Qx+b$, где $Q$ ортогональна. Это евклидовы движения: повороты и параллельные переносы; отражения входят как ортогональные матрицы с $\det Q=-1$.
- Гомотетии с масштабом $s\ne 1$ не годятся, поскольку меняют площадь ($s^2\ne 1$).
- Аффинные сдвиги/сдвиги (сдвиг параллелограмма, сдвиг в форме сдвига по матрице с разными собственными значениями) не подходят, потому что они не сохраняют прямые углы и равенство сторон, превращая квадраты в параллелограммы или ромбы.
- Роль сохранения углов и отношения сторон: сохранение прямого угла и равенства соседних длин для всех ориентированных пар сторон вынуждает линейную часть быть подобием; дополнительное требование сохранения площади фиксирует масштабную множитель и даёт ортогональность.
Вывод: достаточно и необходимо евклидовы движения (повороты + переносы); отражения требуются, если нужно разрешить смену ориентации; общие аффинные сдвиги и нетривиальные гомотетии не годятся.