Модель. Пусть вершины треугольника — фиксированные точки $A,B,C$. Нужно найти точку $X$ (расположение промежуточного склада), минимизирующую суммарную длину путей
$$S(X)=|XA|+|XB|+|XC|.$$ Задача: найти $X^{\ast }=\arg {\min }_{X}S(X)$ и значение $S_{\min }=S(X^{\ast })$.
Решение (классическое — задача Ферма–Торричелли).
1) Неравенство и внутренний стационарный принцип. Функция $S(X)$ выпуклая и дифференцируема при $X$ не совпадающем с вершинами; условие стационарности даёт сумму единичных векторов, направленных от $X$ к вершинам, равную нулю:
$$\frac{XA}{|XA|}+\frac{XB}{|XB|}+\frac{XC}{|XC|}=0.$$ Это возможно только когда три отрезка $XA,XB,XC$ выходят из $X$ под углами $120^{\circ }$ друг к другу. Следовательно, при внутреннем минимуме $X^{\ast }$ называется ферматовской точкой и углы между $X^{\ast }A,X^{\ast }B,X^{\ast }C$ равны $120^{\circ }$.
2) Случаи по величинам углов треугольника.
- Если у треугольника нет угла $\ge 120^{\circ }$ (включая острые и прямые случаи, т.е. если наибольший угол $<120^{\circ }$), то единственный минимизатор — внутренняя ферматова точка $F$, удовлетворяющая условию 120°. Тогда
$$X^{\ast }=F,S_{\min }=|FA|+|FB|+|FC|.$$ Ферматову точку можно построить геометрически: на двух сторонах (например $AB$ и $AC$) наружу построить равносторонние треугольники, соединить новые вершины с противоположными вершинами исходного треугольника — пересечение этих отрезков даёт $F$. Альтернативный метод — поворот на $60^{\circ }$ и применение треугольного неравенства, что даёт явный способ найти $S_{\min }$ как расстояние между образованной парой точек при повороте.
- Если какой‑либо угол, скажем $\angle A$, удовлетворяет $\angle A\ge 120^{\circ }$, то функция $S(X)$ достигает минимума в вершине с таким углом:
$$X^{\ast }=A,S_{\min }=|AB|+|AC|.$$ Интуитивно: при очень большом угле выгоднее «поставить» склад в вершине, чтобы не разводить дополнительные длины; формально это следует из выпуклости и из того, что внутреннего стационарного решения при таком угле нет.
Замечания о классификации:
- Для острых и для прямых треугольников (наибольший угол $<120^{\circ }$) решение — внутренняя ферматова точка с углами $120^{\circ }$.
- Для тупых треугольников возможны оба варианта: если тупой угол менее $120^{\circ }$ (например $95^{\circ }$), то решение всё ещё внутренняя ферматова точка; если тупой угол $\ge 120^{\circ }$, то решение — соответствующая вершина.
Связь с задачей Штейнера. Задача минимальной сети (Steiner minimal tree) для трёх терминалов совпадает с задачей Ферма: оптимальная сеть либо использует дополнительную С‑точку (стейнерову точку) с тремя рёбрами, исходящими под углами $120^{\circ }$ (когда все углы треугольника $<120^{\circ }$), либо (если есть угол $\ge 120^{\circ }$) оптимальная сеть — это два ребра, сходящиеся в этой вершине (то есть стейнерова точка совпадает с вершиной и дополнительной вершины нет). Таким образом, для трёх точек задача размещения единственного промежуточного склада (минимизация суммы расстояний) и задача нахождения минимальной стейнеровой сети эквивалентны.
Практическая рекомендация:
- Если в треугольнике наибольший угол $\ge 120^{\circ }$, ставьте склад в соответствующей вершине.
- Иначе строите ферматову точку геометрически (описанным методом) или численно (например, итеративно: метод Ньютона/вариант Вайсфельда для суммы расстояний или минимизация на плоскости), получаете единственную внутреннюю точку с углами $120^{\circ }$.
Если нужно, могу: а) привести пошаговую геометрическую конструкцию ферматовой точки с картинкой (словесно), б) дать числовой алгоритм (итерационный) или ввести конкретные координаты $A,B,C$ и найти $X^{\ast }$ численно.