Обозначения: общая квадрика
$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0.$$
Алгоритм (шаги и формулы).
1) Классификация. Вычислить $\Delta =B^2-4AC$: $\Delta <0$ — эллипс, $\Delta =0$ — парабола, $\Delta >0$ — гипербола.
2) Квадратичная форма и ортогональная диагонализация. Постройте матрицу квадратичной части
$$Q=\left(\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right).$$ Её собственные значения ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ и собственные векторы дают ортонормированную матрицу поворота $R$ (стороны главных осей). Угол поворота $\phi$ можно взять из
$$\tan (2\phi )=\frac{B}{A-C},$$ или найти собственные векторы решениями $(Q-\lambda I)v=0$. После поворота $(x,y)=R(\xi ,\eta )$ квадратичная часть станет диагональной:
$${\lambda }_1{\xi }^2+{\lambda }_2{\eta }^2+\text{(линейные в}\xi ,\eta )+F=0.$$
3) Перенос (аффинный сдвиг) для устранения линейных членов. Центр $c=(x_0,y_0)$ решается из градиента квадрики:
$$2Qc+\left(\begin{array}{c}D\\ E\end{array}\right)=0\Rightarrow c=-\frac{1}{2}{Q}^{-1}\left(\begin{array}{c}D\\ E\end{array}\right),$$ (если квадрика центральная; для параболы один из $\lambda$ равен нулю и процедура меняется). Перейдя к координатам, центрированным в $c$, получим
$${\lambda }_1{\xi }^2+{\lambda }_2{\eta }^2=\kappa ,$$ где $\kappa$ — новая правая часть (вычисляется как значение исходного многочлена в центре со знаком).
4) Нормировка (масштабирование координат) к каноническому виду. Для центральной коники, если ${\lambda }_1{\lambda }_2<0$ (гипербола),
$${\lambda }_1{\xi }^2+{\lambda }_2{\eta }^2=\kappa \Rightarrow \frac{{\xi }^2}{a^2}-\frac{{\eta }^2}{b^2}=1,$$ где $a^2=\frac{\kappa }{{\lambda }_1}$, $b^2=\frac{\kappa }{-{\lambda }_2}$ (подписи зависят от знаков ${\lambda }_i$). Для эллипса оба ${\lambda }_i$ одного знака и
$\frac{{\xi }^2}{a^2}+\frac{{\eta }^2}{b^2}=1$. Для параболы получается нормальная форма типа ${\eta }^2=2p\xi$.
5) Геометрическая интерпретация. Собственные векторы = направления главных осей; собственные значения ${\lambda }_i$ связаны с квадратичной формой по осям: величины $a,b$ определяются как указано в пункте 4 и дают полуоси (для гиперболы — полуоси ветвей). Асимптоты гиперболы в собственных координатах: $\eta =\pm \frac{b}{a}\xi$; в исходных координатах — эти прямые повернуты на угол $\phi$ и сдвинуты на центр $c$.
Пример — наклонная гипербола
$$3x^2+4xy-y^2-10x+2y-1=0.$$
1) Классификация: $\Delta =4^2-4\cdot 3\cdot (-1)=16+12=28>0$ — гипербола.
2) Квадратичная матрица
$$Q=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& -1\end{array}\right).$$ Собственные значения решают $\det (Q-\lambda I)=0$: ${\lambda }^2-2\lambda -7=0$, дающие
$${\lambda }_1=1+2\sqrt{2},{\lambda }_2=1-2\sqrt{2}.$$ Угол поворота $\phi$ можно взять из $\tan (2\phi )=\frac{4}{3-(-1)}=1$, т.е. $2\phi =\pi /4$, $\phi =\pi /8$ (≈22.5°). Это направление главных осей.
3) Центр: решаем $2Qc+(D,E{)}^T=0$ с $(D,E)=(-10,2)$. Это даёт
$$Qc=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)\Rightarrow c=\left(\begin{array}{c}3/7\\ 13/7\end{array}\right).$$
4) Значение константы в центре:
$$\kappa =-(c^{T}Qc+(D,E)\cdot c+F)=\frac{9}{7}.$$ (эквивалентно преобразованию в центр: $(x,y)=c+(u,v)$ и переходу к собственным осям). В собственных координатах получаем
$${\lambda }_1{\xi }^2+{\lambda }_2{\eta }^2=\frac{9}{7}.$$ Поскольку ${\lambda }_2<0$, приводим к каноническому виду гиперболы:
$$\frac{{\xi }^2}{a^2}-\frac{{\eta }^2}{b^2}=1,a^2=\frac{9}{7{\lambda }_1},b^2=\frac{9}{7(-{\lambda }_2)}.$$ Численно
$${\lambda }_1\approx 3.828427,{\lambda }_2\approx -1.828427,a^2\approx 0.3359,a\approx 0.5796,b^2\approx 0.7035,b\approx \mathrm{0.8382.}$$
5) Геометрическая интерпретация для примера:
- Центр гиперболы $c=(3/7,13/7)$.
- Главные оси направлены под углом $\phi =\pi /8$ к оси $x$ (собственные векторы матрицы $Q$).
- Полуоси $a,b$ задают «масштаб» в главных осях: канонически ветви описываются ${\xi }^2/a^2-{\eta }^2/b^2=1$.
- Асимптоты в собственных осях: $\eta =\pm \frac{b}{a}\xi$; в исходных координатах — те же прямые, повернутые на $\phi$ и смещённые в центр $c$. Значения ${\lambda }_i$ отражают «жёсткость» квадратичной формы вдоль соответствующих направлений (чем больше $|{\lambda }_i|$, тем «короче» соответствующая полуось при фиксированной правой части).
Это общий пошаговый рецепт: диагонализовать квадратичную часть (ортогонально), перенести центр (аффинно), нормировать по масштабам — получить канонический вид; затем читать геометрические параметры (центр, ориентация, полуоси, асимптоты) из полученных коэффициентов.