Обозначим две пересекающиеся прямые
$$L_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0,L_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0,$$ фиксированную точку $P(x_0,y_0)$. Пусть центр искомой окружности $C(h,k)$, радиус $r$. Условия: окружность касается обеих прямых и проходит через $P$.
1) Касание двух прямых даёт равенство расстояний от центра до прямых:
$$r=\frac{|a_{1}h+b_{1}k+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\frac{|a_{2}h+b_{2}k+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$ Отсюда центр лежит на биссектрисах углов между $L_1$ и $L_2$:
$$\frac{a_{1}h+b_{1}k+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_{2}h+b_{2}k+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$
2) Прохождение через $P$:
$$(h-x_0{)}^2+(k-y_0{)}^2=r^2.$$
Исключая $r$, получаем систему для центра $C(h,k)$:
$$\{\begin{array}{l}\frac{a_{1}h+b_{1}k+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_{2}h+b_{2}k+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}},\\ (h-x_0{)}^2+(k-y_0{)}^2={\left(\frac{a_{1}h+b_{1}k+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}\right)}^2.\end{array}$$
Уравнение семейства окружностей можно записать так: для любого решения $(h,k)$ предыдущей системы окружность
$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=(h-x_0{)}^2+(k-y_0{)}^2$$ — искомая окружность.
Геометрическое место центров: это пересечение двух прямых (биссектрис угла между $L_1$ и $L_2$) с параболой с фокусом в $P$ и директрисой $L_1$ (эквивалентно — с директрисой $L_2$, поскольку на биссектрисе расстояния до $L_1$ и $L_2$ равны). Иначе: центры — точки на биссектрисах, для которых расстояние до $P$ равно расстоянию до $L_1$. Следовательно, в общем случае число центров не превосходит 4 (до двух пересечений на каждой из двух биссектрис).