Формулировка (стандартная). Пусть в треугольнике $ABC$ точки $D\in BC$, $E\in CA$, $F\in AB$. Теорема Чевы: прямые $AD,BE,CF$ конкурентны тогда и только тогда, когда
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$
Доказательства.
1) Через подобие / тригонометрическая версия (коротко).
Пусть $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке $P$. В треугольниках $APB$ и $APC$ применим теорему синусов:
$$\frac{\sin \angle BAP}{\sin \angle PAC}=\frac{BP/AB}{CP/AC}.$$ Аналогично для вершин $B$ и $C$. Перемножив три таких соотношения (для вершин $A,B,C$) и сократив знаменатели и числители, получаем тригонометрическую Чеву
$$\frac{\sin \angle BAP}{\sin \angle PAC}\cdot \frac{\sin \angle CBP}{\sin \angle PBA}\cdot \frac{\sin \angle ACP}{\sin \angle PCB}=1.$$ Теперь в треугольниках $ABD$ и $ADC$ (и аналогично для остальных) по теореме синусов имеем
$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB\sin \angle BAD}{AC\sin \angle DAC}.$$ Подставляя эти выражения и сокращая множители $AB,AC,\dots$, получаем обычную форму Чевы
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$ Обратное направление: из тригонометрической Чевы следует совпадение пересечений (см. классический вывод).
2) Через барицентрические (координатный, векторный) метод — самый простой и элегантный.
Возьмём барицентрические координаты относительно треугольника $ABC$. Точка на стороне $BC$ с отношением деления $BD:DC=x$ имеет барицентрические координаты $(0:1:x)$ (пропорция по вершинам $A:B:C$ — веса пропорциональны противоположным отрезкам). Аналогично:
$$D=(0:1:x),E=(y:0:1),F=(1:z:0),$$ где $x=\frac{BD}{DC},y=\frac{CE}{EA},z=\frac{AF}{FB}$.
Тогда точка пересечения двух цевиан, например пересечение $AD$ и $BE$, имеет барицентрические координаты пропорциональные пересечению прямых в проективном смысле; если все три цевианы пересекаются в одной точке $P$, то её координаты можно записать как $(u:v:w)$ и одновременно
$$D=(0:v:w)\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{w}{v}=x,E=(w:0:u)\Rightarrow \frac{CE}{EA}=\frac{u}{w}=y,F=(v:u:0)\Rightarrow \frac{AF}{FB}=\frac{v}{u}=z.$$ Умножая три равенства получаем
$$x\cdot y\cdot z=\frac{w}{v}\cdot \frac{u}{w}\cdot \frac{v}{u}=1.$$ Обратно, если произведение равно 1, то можно построить координаты $(u:v:w)$ с указанными отношениями, откуда цевианы пересекаются в одной точке. Аналогная короткая версия через афинные/векторные координаты: задав $B,C$ векторы и выразив точки деления как параметры, из условия совпадения решений линейных уравнений выводится то же произведение.
3) Через ориентированные отрезки / знаковые площади (простая классика).
Пусть $P$ — точка пересечения $AD,BE,CF$. Для отрезка $BC$ имеем соотношение через площади:
$$\frac{BD}{DC}=\frac{[ABD]}{[ADC]},$$ где $[XYZ]$ — (ориентированная) площадь треугольника $XYZ$. (Это верно потому, что $[ABD]=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h_A^{(BD)}$ и $[ADC]=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h_A^{(DC)}$, высоты от $A$ на базу $BC$ одинаковы, остаток даёт отношение оснований; при ориентированных площадях сохраняются знаки, если точка лежит на продолжении стороны.) Аналогично:
$$\frac{CE}{EA}=\frac{[BCE]}{[BEA]},\frac{AF}{FB}=\frac{[CAF]}{[CBF]}.$$ Так как $P$ лежит в пересечении цевиан, складывая (и учитывая, что суммирование площадей соседних малых треугольников даёт большие) легко проверить равенства
$$[ABD]=[APB],[ADC]=[APC],\text{и т.д.},$$ и при перемножении трёх вышеотношений большинство слагаемых сократится, давая
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$ Обратный ход: из равенства произведения единицы через соотношения ориентированных площадей можно получить совпадение весов у вершин и, следовательно, существование общей точки пересечения цевиан. Этот подход автоматически охватывает случаи, когда точки лежат на продолжениях сторон (знаки учитываются).
Сравнение подходов — преимущества и ограничения.
- Подобие / тригонометрический подход:
- Плюсы: даёт обобщение трогающейся формы (тригонометрическая Чева), полезен при работе с углами; интуитивно понятен при работе с углами и синусами.
- Минусы: требует тригонометрии (теоремы синусов) или построений для получения подобных треугольников; менее прямой при чисто метрических задачах с длинами.
- Барицентрические / векторные методы:
- Плюсы: очень компактные и алгебраические доказательства; легко обобщаются (проективный/аффинный язык), удобны для вычислений и для доказательства обратного направления; естественны для координатных задач.
- Минусы: требуют знакомства с барицентрическими или векторными координатами; менее «геометрически» нагляденны для начинающих.
- Ориентированные отрезки / площади:
- Плюсы: простая и наглядная классика; ориентированные площади автоматически учитывают случаи на продолжениях сторон; хорошо подходит для сочетания с Менелла и другими теоремами.
- Минусы: надо аккуратно работать со знаками; доказательство менее алгебраически компактно, чем барицентрическое.
Вывод: выбор метода зависит от задачи и удобства: для элегантного короткого доказательства — барицентрические координаты; для угловых/тригонометрических версий и обобщений — тригонометрическая Чева (подобие); для наглядных рассуждений со знаками — ориентированные отрезки/площади.