Построение, критерии и формулы.
1) Условие существования (и невырожденности). Пусть даны длины медиан $m_a,m_b,m_c>0$. Необходимое и достаточное условие существования невырожденного треугольника с такими медианами:
$$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b.$$ (При равенстве одной из неравенств получаем вырожденный треугольник.)
2) Построение (конструктивное доказательство существования). Пусть
$$p_a=\frac{2}{3}{m}_a,p_b=\frac{2}{3}{m}_b,p_c=\frac{2}{3}{m}_c.$$ Так как $m_a,m_b,m_c$ удовлетворяют неравенствам треугольника, то то же верно и для $p_a,p_b,p_c$. Постройте треугольник с длинами сторон $p_a,p_b,p_c$ и обозначьте последовательно его векторы сторон (в замкнутом порядке) как $u,v,w$ (тогда $u+v+w=0$ и $|u|=p_a,|v|=p_b,|w|=p_c$). Возьмём произвольную точку $G$ и отложим от неё векторы $u,v,w$ (в том же порядке) к точкам $A,B,C$. Тогда
медиана из вершины $A$ равна расстоянию от $A$ до середины отрезка $BC$:
AMa=∣ GA⃗−GB⃗+GC⃗2∣=32∣u⃗∣=32pa=ma. AM_a=\left|\,\vec{GA}-\tfrac{\vec{GB}+\vec{GC}}{2}\right|
=\tfrac{3}{2}|\vec u|=\tfrac{3}{2}p_a=m_a.
AMa = GA−2GB+GC =23 ∣u∣=23 pa =ma . Аналогично для других медиан. Таким образом получен требуемый треугольник.
3) Единственность. Векторы $u,v,w$ (с заданными длинами и условием $u+v+w=0$) образуют замкнутую цепочку и задают треугольник единственным образом с точностью до движения плоскости (конгруэнции). Следовательно исходный треугольник с заданными медианами единственен с точностью до положения в плоскости и симметрии.
4) Формулы для сторон через медианы. Из формулы Апполония
$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},m_b^2=\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4},m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4},$$ решая систему получаем
$$a^2=\frac{4}{9}(-m_a^2+2m_b^2+2m_c^2),$$ $$b^2=\frac{4}{9}(2m_a^2-m_b^2+2m_c^2),$$ $$c^2=\frac{4}{9}(2m_a^2+2m_b^2-m_c^2).$$ Следовательно
$$a=\frac{2}{3}\sqrt{2m_b^2+2m_c^2-m_a^2},b=\frac{2}{3}\sqrt{2m_c^2+2m_a^2-m_b^2},c=\frac{2}{3}\sqrt{2m_a^2+2m_b^2-m_c^2},$$ и радиканд должен быть положителен (строго для невырожденного треугольника).
Коротко: данная конструкция даёт существование и единственность при выполнении неравенств треугольника для $m_a,m_b,m_c$; стороны выражаются формулами выше.