Кратко: параллельный перенос, поворот и гомотетия (т. е. все евклидовы и подобные преобразования) сохраняют все перечисленные центры — образ центра треугольника при таком преобразовании будет соответствующим центром образа треугольника. Общее аффинное преобразование сохраняет лишь те центры, которые выражаются как аффинные (линейные) комбинации вершин треугольника; среди классических центров это — центр тяжести. Пояснения ниже.
1) Что сохраняет семейство: параллельный перенос, поворот, гомотетия
- Все перечисленные центры (центроид, ортоцентр, центр описанной окружности, центр вписанной окружности) переходят в соответствующие центры образного треугольника. Причина: эти преобразования — подобия, сохраняющие углы и отношение длин, а центры определяются через перпендикуляры, биссектрисы, окружности и т.д., которые сохраняются при подобиях.
2) Что сохраняет общее афинное преобразование
- Сохраняется положение точки относительно вершин, заданное её барицентрическими (аффинными) координатами. Аффинное преобразование переводит точку с барицентриками $(\alpha :\beta :\gamma )$ в точку с теми же барицентриками относительно образа вершин.
- Центр тяжести (центроид) имеет барицентрики $(1:1:1)$, поэтому при любом афинном отображении образ центроида — центроид образного треугольника. Иными словами, центроид аффинно-инвариантен.
- Ортоцентр, вписанный центр и центр описанной окружности зависят от углов/перпендикулярности/кругов, то есть их барицентрические координаты выражаются через функции углов или длин сторон: например, ортоцентр имеет барицентрики пропорциональные $(\tan A:\tan B:\tan C)$, вписанный центр — $(a:b:c)$ (через длины сторон), описанный центр — $(\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C)$. Поскольку аффинные преобразования не сохраняют углы и длины, эти координаты в общем не сохраняются, значит эти центры в общем случае не переходят в соответствующие центры образного треугольника.
- Дополнительно: афинные отображения переводят окружности в эллипсы, перпендикулярность может нарушаться, биссектрисы углов — не сохраняются; отсюда невосстановимость инцента, ортоцентра, циркумцентра в общем случае.
3) Краткая сводка
- Центроид (центр тяжести): инвариантен относительно параллельного переноса, поворота, гомотетии и любых аффинных преобразований.
- Ортоцентр, центры вписанной и описанной окружностей: инвариантны относительно параллельного переноса, поворота и гомотетии (т. е. подобных преобразований), но не инвариантны в общем относительно произвольного аффинного преобразования.
(Причины: подобия сохраняют углы и окружности; аффинные — только прямые, параллельность и аффинные комбинации вершин, поэтому сохраняют центры, задаваемые фиксированными барицентрическими весами, но не центры, зависящие от углов или длин.)