Возьмём стандартный эллипс
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ и фиксированную точку $P=(x_1,y_1)$ на нём, т.е. $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$.
Пусть через $P$ проходит прямая с угловым коэффициентом $m$: $y=y_1+m(x-x_1)$. Подставляя в уравнение эллипса и находя среднее корней по $x$, получаем координаты середины хорды $(X,Y)$:
$$X=-\frac{a^{2}m(y_1-m{x}_1)}{b^2+a^2{m}^2},Y=\frac{b^2(y_1-m{x}_1)}{b^2+a^2{m}^2}.$$ Исключая $m$ (через $m=-\frac{b^{2}X}{a^{2}Y}$) получаем уравнение множества середин:
$$b^2{X}^2+a^2{Y}^2-b^{2}X{x}_1-a^{2}Y{y}_1=0.$$ После выделения квадратов и использования условия $x_1^2/a^2+y_1^2/b^2=1$ это даёт итоговое уравнение
$$b^2(X-\frac{x_1}{2}{)}^2+a^2(Y-\frac{y_1}{2}{)}^2=\frac{a^2{b}^2}{4},$$ или в нормализованном виде
$$\frac{(X-\frac{x_1}{2}{)}^2}{(a/2{)}^2}+\frac{(Y-\frac{y_1}{2}{)}^2}{(b/2{)}^2}=1.$$
Таким образом геометрическое место середин — эллипс с центром в $(\frac{x_1}{2},\frac{y_1}{2})$ и полуосями $a/2$ и $b/2$.