Критерий (коротко). Для выпуклого четырёхугольника $ABCD$ диагональ $AC$ делит фигуру на два треугольника равной площади тогда и только тогда, когда расстояния от вершин $B$ и $D$ до прямой $AC$ равны. Аналогично для диагонали $BD$: она делит на равные площади тогда и только тогда, когда расстояния от $A$ и $C$ до прямой $BD$ равны. Следовательно, искомая диагональ существует тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из двух равенств.
Доказательство (необходимость и достаточность) для $AC$.
1) Пусть $AC$ делит на равные площади: $S_{ABC}=S_{CDA}$. Пусть $h_B,h_D$ — расстояния от $B$ и $D$ до прямой $AC$. Так как обе треугольники имеют общий основание $AC$, их площади равны:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}|AC|h_B,S_{CDA}=\frac{1}{2}|AC|h_D.$$ Отсюда $h_B=h_D$. Это необходимость.
2) Обратное: если $h_B=h_D$, то подставляя в формулы выше получаем $S_{ABC}=S_{CDA}$. Это достаточность.
Эквивалентная алгебраическая форма (удобна для проверки). Векторная/детерминантная формула площади треугольника:
SPQR=12∣det⁡(Q−P, R−P)∣. S_{PQR}=\tfrac12\bigl|\det(Q-P,\;R-P)\bigr|.
SPQR =21 det(Q−P,R−P) . Поэтому равенство площадей для диагонали $AC$ эквивалентно
∣det⁡(B−A, C−A)∣=∣det⁡(D−C, A−C)∣ \bigl|\det(B-A,\;C-A)\bigr|=\bigl|\det(D-C,\;A-C)\bigr|
det(B−A,C−A) = det(D−C,A−C) или (однообразно)
∣det⁡(C−A, B−A)∣=∣det⁡(C−A, D−A)∣. \bigl|\det(C-A,\;B-A)\bigr|=\bigl|\det(C-A,\;D-A)\bigr|.
det(C−A,B−A) = det(C−A,D−A) . Аналогично для диагонали $BD$:
∣det⁡(D−B, A−B)∣=∣det⁡(D−B, C−B)∣. \bigl|\det(D-B,\;A-B)\bigr|=\bigl|\det(D-B,\;C-B)\bigr|.
det(D−B,A−B) = det(D−B,C−B) .
Алгоритм проверки (практически):
1. Ввод координат $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),C(x_C,y_C),D(x_D,y_D)$.
2. Вычислить T1=∣det⁡(C−A, B−A)∣=∣(xC−xA)(yB−yA)−(yC−yA)(xB−xA)∣T_1=\bigl|\det(C-A,\;B-A)\bigr|=| (x_C-x_A)(y_B-y_A)-(y_C-y_A)(x_B-x_A)|T1 = det(C−A,B−A) =∣(xC −xA )(yB −yA )−(yC −yA )(xB −xA )∣.
Вычислить T2=∣det⁡(C−A, D−A)∣T_2=\bigl|\det(C-A,\;D-A)\bigr|T2 = det(C−A,D−A) .
Если $T_1=T_2$ (с учётом числовой погрешности), то $AC$ — искомая диагональ.
3. Иначе вычислить U1=∣det⁡(D−B, A−B)∣U_1=\bigl|\det(D-B,\;A-B)\bigr|U1 = det(D−B,A−B) и U2=∣det⁡(D−B, C−B)∣U_2=\bigl|\det(D-B,\;C-B)\bigr|U2 = det(D−B,C−B) .
Если $U_1=U_2$, то $BD$ — искомая диагональ.
4. Если ни одно равенство не выполнено, диагональ, делящая на равные площади, отсутствует.
Замечания:
- В выпуклом четырёхугольнике высоты положительны и формулы корректны.
- При численной проверке сравнивайте с допуском (например, $|T_1-T_2|<\epsilon$).