Коротко — основные свойства педальной треугольника (т. е. треугольника оснований высот, или ортного треугольника) для треугольника $ABC$. Формулы даны в сыром KaTeX.
1) Определение и существование
- Педальная (ортная) треугольник $A_1{B}_1{C}_1$ — вершины $A_1\in BC,B_1\in CA,C_1\in AB$ — основания высот из $A,B,C$.
- Если $ABC$ остроугольный, то $A_1{B}_1{C}_1$ лежит внутри $ABC$. При прямом угле один из «вершин» совпадает с вершиной исходного (площадь = 0). При тупом угле одна или две вершины $A_1,B_1,C_1$ лежат вне отрезков сторон (треугольник получается «развёрнутым»).
2) Углы педальной треугольника
- Углы связаны с углами исходного треугольника формулой
$$\angle A_1=\pi -2A,\angle B_1=\pi -2B,\angle C_1=\pi -2C.$$ (Проверка суммы: $(\pi -2A)+(\pi -2B)+(\pi -2C)=\pi$.)
3) Когда педальная подобна исходному
- Требование подобия даёт систему угловых равенств $\{\pi -2A,\pi -2B,\pi -2C\}=\{A,B,C\}$. Отсюда единственный (невырожденный) случай — равносторонний треугольник:
$$A=B=C=60^{\circ }.$$ - В этом случае педальная треугольник подобна исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$ и отношением площадей $\frac{1}{4}$.
4) Отношение площадей
- Для острого треугольника выполняется простая формула
$$S_{A_1{B}_1{C}_1}=2S_{ABC}\cos A\cos B\cos C.$$ (Для прямого угла одна косинусная множитель равен нулю → площадь ортной треугольника = 0. В тупом случае один из косинусов отрицателен; приведённая формула даёт ориентированную площадь — модуль берут для обычной площади.)
Короткая идея вывода: выразив длины соответствующих высот через $R$ ( $h_a=2R\cos A$ ) и пользуясь стандартными формулами для площади $S$ и для связей сторон/радиуса описанной окружности, получают указанное соотношение.
5) Центры и окружности — как меняются взаимные положения
- Описанная окружность педальной треугольника — это девятипунктовая окружность ($=$ nine‑point circle) исходного треугольника; её радиус
$$R_{A_1{B}_1{C}_1}=\frac{R}{2},$$ центр — точка $N$ (центр девяти точек), которая есть середина отрезка $OH$ (между центром описанной $O$ и ортoцентром $H$ исходного).
- Важное соответствие центров (для острого треугольника):
- Внешние центры: вершины $A,B,C$ исходного являются эксцентрами (вневписанными центрами) педальной треугольника.
- Центр описанной исходного $O$ является вписанным центром педальной (внутри педальной, при остром $ABC$).
(Эти соответствия — стандартные: $ABC$ — «эксцентральный» относительно $A_1{B}_1{C}_1$.)
- Ортоцентр $H$ исходного не совпадает, вообще, ни с инцентром, ни с описанным центром педальной; зато $N$ (середина $OH$) — описанный центр педальной. Девятипунктовая окружность проходит через все вершины педальной.
6) Сохранение/изменение теорем о взаимном расположении
- Сохраняются многие «соответствия» центров через преобразования: описанная исходного ↔ вписанная педальной, девятипунктовая окружность ↔ описанная педальной и т. п.
- Не сохраняется, в общем, подобие (кроме равностороннего случая), и ориентация: при тупых углах педальная «выходит» наружу (некоторые вершины лежат на продолжениях сторон), что меняет расположение вписанных/вневписанных окружностей и внешнее/внутреннее положение центров.
- Частные теоремы остаются: например, стороны педальной перпендикулярны соответствующим радиусам описанной исходного и т. д., что даёт богатую систему симметрий и равенств расстояний.
7) Специальные случаи
- Прямой треугольник: ортная «треугольник» вырождается (площадь $0$), два основания совпадают с одной вершиной и т. п.
- Равносторонний: педальная подобна исходному, коэффициент подобия $\frac{1}{2}$, отношение площадей $\frac{1}{4}$.
Краткий итог: угловая структура педальной треугольника проста: углы равны $\pi -2$ углам исходного; подобие происходит только в равностороннем случае (масштаб $\frac{1}{2}$); площадь связана со старой формулой $S_{orthic}=2S\cos A\cos B\cos C$; девятипунктовая окружность исходного — описанная для педальной, а описанная исходного превращается во вписанную для педальной; при переходе к тупым треугольникам многие внутрисхемные положения «переносятся» на внешние (вершины педальной могут выйти за стороны).