Формулировка (единичная сфера; длины сторон — углы, т.е. дуги, равные центральным углам). Для сферического треугольника со сторонами $a,b,c$ (против углов $A,B,C$ соответственно) справедлива общая сферическая теорема косинусов:
$$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.$$ В частном случае прямого сферического треугольника (угол $C=\frac{\pi }{2}$) получаем обобщение теоремы Пифагора для сферы:
$$\cos c=\cos a\cos b.$$ Для сферы радиуса $R$ берут аргументы в виде угловых длин: $a\mapsto a/R$ и т.д., т.е.
$$\cos \frac{c}{R}=\cos \frac{a}{R}\cos \frac{b}{R}.$$
Доказательство (координатное, на единичной сфере). Положим вершину $C$ в северный полюс: $\mathbf{C}=(0,0,1)$. Пусть дуга $CA=b$ лежит по начальному меридиану, тогда
$$\mathbf{A}=(\sin b,0,\cos b).$$ Пусть долгота точки $B$ равна углу $C$ (сферический угол в вершине $C$); тогда дуга $CB=a$ даёт
$$\mathbf{B}=(\sin a\cos C,\sin a\sin C,\cos a).$$ Скалярное произведение даёт косинус дуги $AB$:
$$\cos c=\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=\sin b\sin a\cos C+\cos b\cos a,$$ что и есть искомая формула. При $C=\frac{\pi }{2}$ теряется член с $\cos C$ и получаем $\cos c=\cos a\cos b$.
Сравнение с евклидовой версией и следствия.
- Евклид: для прямого треугольника $c^2=a^2+b^2$. Сферическая формула не является квадратичным соотношением длин, а мультипликативной в косинусах.
- Линейный предел при малых сторонах: при $a,b,c\ll R$ используем приближение $\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}$. Тогда из
$$\cos \frac{c}{R}=\cos \frac{a}{R}\cos \frac{b}{R}$$ получаем
$$1-\frac{c^2}{2R^2}+o\left(\frac{c^2}{R^2}\right)=\left(1-\frac{a^2}{2R^2}\right)\left(1-\frac{b^2}{2R^2}\right)\approx 1-\frac{a^2+b^2}{2R^2},$$ откуда в пределе $R\to \infty$ (или при малых сторонах) вытекает евклидово соотношение $c^2\approx a^2+b^2$.
- Геометрические следствия: сферическая «пифагорова» формула не масштабно-инвариантна (на сфере нет подобия в евклидном смысле), потому соотношение зависит от радиуса сферы. Для больших сторон поведение существенно отличается: например, если $a=b=\frac{\pi }{2}$ (квадрант), то $\cos c={\cos }^2(\frac{\pi }{2})=0$ и $c=\frac{\pi }{2}$, т.е. гипотенуза не увеличивается как в евклидовой плоскости.
- Аналог в гиперболической геометрии: для прямого гиперболического треугольника
$$\cosh c=\cosh a\cosh b,$$ что формально напоминает сферическую формулу с заменой $\cos \mapsto \cosh$.
Вывод: сферическая обобщённая теорема Пифагора имеет компактную форму через косинусы сторон; она сводится к евклидовой при малых размерах и отражает фундаментальное различие глобальной геометрии (отсутствие подобия, зависимость от радиуса).