Кратко: равнобедренная трапеция бикентрична тогда и только тогда, когда она имеет вписанную и описанную окружности одновременно; это равносильно общим условиям для вписанной и описанной четвугольников, которые для равнобедренной трапеции сводятся к простому соотношению между сторонами.
Доказательство и условия:
- Тре́пецiя с основаниями $a$ (большое) и $c$ (малое) и боковыми равными $b$ (т. е. $AD=BC=b$) — равнобедренная трапеция. Любая равнобедренная трапеция циклична (вписанна в окружность), т.к. её противолежащие углы в сумме равны $\pi$.
- Для того чтобы трапеция была описанной (имела вписанную окружность), необходимо и достаточно условие равенства сумм противоположных сторон (условие Пито для описанных четырёхугольников):
$$a+c=b+d.$$ При равнобедренности $d=b$, поэтому это даёт необходимое и достаточное условие для бикентричности:
$$a+c=2b.$$
Связь со углами и геометрические выражения:
- Пусть угол при основании равен $\alpha$. Горизонтальная проекция боковой стороны равна $b\cos \alpha$, а симметрия даёт
$$a-c=2b\cos \alpha .$$ Вместе с $a+c=2b$ получаем явные выражения
$$a=b(1+\cos \alpha ),c=b(1-\cos \alpha ),$$ и формулу для угла
$$\cos \alpha =\frac{a-c}{a+c}.$$ - Высота $h=b\sin \alpha$. При $a+c=2b$ полупериметр $s=\frac{a+b+c+b}{2}=2b$, площадь $S=\frac{a+c}{2}h=bh$ и радиус вписанной окружности
$$r=\frac{S}{s}=\frac{h}{2}=\frac{b\sin \alpha }{2}.$$
Примеры:
- Бикентричная (удовлетворяет $a+c=2b$): возьмём $b=5$, $a=7$, $c=3$. Тогда $a+c=10=2b$. Угол $\alpha$ вычисляется по $\cos \alpha =(7-3)/(7+3)=0.4$.
- Контрпример 1 (равнобедренная, но не описанная): $b=5$, $a=8$, $c=4$. Тогда $a+c=12\ne 10=2b$ — трапеция циклична, но не имеет вписанной окружности.
- Контрпример 2 (описанная, но не равнобедренная → не бикентрична): например $a=7$, $c=3$, боковые $b=4$, $d=6$. Тогда $a+c=10=b+d$ — трапеция описанная, но не равнобедренная, значит не вписана в окружность (не бикентрична).
Итог (необходимое и достаточное условие): равнобедренная трапеция бикентрична тогда и только тогда, когда
$$a+c=2b,$$ что эквивалентно $\cos \alpha =\frac{a-c}{a+c}$ при обозначениях выше.