Обозначим вершины тетраэдра $A,B,C,D$ и длины противоположных рёбер
$$S_1=|AB|+|CD|,S_2=|AC|+|BD|,S_3=|AD|+|BC|.$$
Основные общие факты
1) Треугольные неравенства. Числа $S_1,S_2,S_3$ удовлетворяют неравенствам треугольника:
$$S_1\le S_2+S_3,S_2\le S_1+S_3,S_3\le S_1+S_2.$$ Следовательно, всегда существует (возможно вырожденный) треугольник со сторонами $S_1,S_2,S_3$.
Краткая идея доказательства (скетч). Пусть через середины соответствующих рёбер построены три точки
$$X=\frac{A+B}{2},Y=\frac{C+D}{2};X^{\prime }=\frac{A+C}{2},Y^{\prime }=\frac{B+D}{2};X^{\prime \prime }=\frac{A+D}{2},Y^{\prime \prime }=\frac{B+C}{2}.$$ Тогда по неравенству треугольника для векторов
$$|X-Y|\le \frac{|AC|+|BD|}{2}=\frac{S_2}{2},|X^{\prime }-Y^{\prime }|\le \frac{S_1}{2},|X^{\prime \prime }-Y^{\prime \prime }|\le \frac{S_3}{2}.$$ Точки $X,Y^{\prime },X^{\prime \prime }$ (и аналогичные тройки) образуют треугольник в пространстве, поэтому расстояния между соответствующими парами точек удовлетворяют треугольному неравенству; умножая это неравенство на $2$ и подставляя оценки выше, получаем $S_i\le S_j+S_k$.
2) Строгость и случаи равенства. Неравенство $S_1\le S_2+S_3$ обращается в равенство тогда и только тогда, когда соответствующие векторные слагаемые, дающие оценки для $S_2/2$ и $S_3/2$, коллинеарны и имеют совместное направление (т.е. треугольник, построенный из оценочных отрезков между средними точками, вырождается). Геометрически это происходит в вырожденном случае, когда все четыре вершины лежат в одной плоскости и проекции рёбер на некоторую прямую «вырождаются» так, что суммы длин двух пар противоположных рёбер дают длину третьей пары. В частности, типичный геометрический сценарий равенства: тетраэдр вырождается в плоский четырёхугольник (вершины лежат в одной плоскости) и одно из противоположных ребер расположено «вдоль» другого в том смысле, что соответствующие векторные направления совпадают в проекции на некоторую ось (в пределе — когда одна пара рёбер лежит на одном отрезке при коллинеарности вершин).
3) Связь с сечениями и проекциями.
- Проекции на прямую. Для любой единичной векторной направляющей $u$ выполняются аналогичные неравенства для сумм скалярных проекций (абсолютных значений проекций) противоположных рёбер:
$${\mathrm{proj}}_u(AB)+{\mathrm{proj}}_u(CD)\le {\mathrm{proj}}_u(AC)+{\mathrm{proj}}_u(BD)+{\mathrm{proj}}_u(AD)+{\mathrm{proj}}_u(BC),$$ и, в частности, равенство проекций для одной из пар противоположных рёбер при всех $u$ указывает на коллинеарность соответствующих направлений (вырождение).
- Сечения плоскостью. В сечении тетраэдра плоскостью проходящей через середины трёх рёбер образуется треугольник, стороны которого связаны с длинами рёбер тетраэдра (половины некоторых сумм/разностей рёбер). Анализ таких центральных сечений даёт геометрическое объяснение неравенств: расстояния между соответствующими серединами противоположных рёбер связаны с полусуммами противоположных рёбер, и треугольное неравенство для этих расстояний даёт утверждение про $S_1,S_2,S_3$.
- Параллелепипедная интерпретация. Если продолжить векторы рёбер, можно вложить тетраэдр в параллелепипед; длины векторов, получающиеся как суммы направлений противоположных рёбер, подчиняются неравенствам треугольника (неравенство треугольника для векторов), и это даёт векторное доказательство для сумм длин противоположных рёбер.
Выводы и практическое значение
- Суммы длин противоположных рёбер всегда могут быть сторонами (возможно вырожденного) треугольника.
- Равенство достигается лишь в вырожденных геометрических ситуациях (коллинеарные/копланарные вырождения, когда соответствующие векторы направлены одинаково при проекции).
- Для изучения при каких условиях равенство достигается полезно рассматривать проекции тетраэдра на подходящую прямую и сечения через середины рёбер — именно в этих проекциях/сечениях вырождение («вырожденный треугольник») и проявляется явно.