Краткий ответ перед построением и анализом:
- Для любых трёх положительных углов $A,B,C$ с $A+B+C=\pi$ и любого положительного значения медианы $m$ к наибольшей стороне существует ровно одно (с точностью до конгруэнции; зеркальное отображение не считается отличным) невырожденное решение.
- Формула масштабирующего множителя (если взять произвольный эталонный треугольник с этими углами): пусть в эталонном треугольнике стороны пропорциональны $\sin A,\sin B,\sin C$. Тогда при произвольном масштабе $k$ имеем
$$a=k\sin A,b=k\sin B,c=k\sin C,$$ и медиана к стороне $a$ $$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=\frac{k}{2}\sqrt{2{\sin }^{2}B+2{\sin }^{2}C-{\sin }^{2}A}.$$ Отсюда масштаб
$$k=\frac{2m}{\sqrt{2{\sin }^{2}B+2{\sin }^{2}C-{\sin }^{2}A}}.$$ Подкоренное выражение положительно для невырожденного набора углов, поэтому для любого $m>0$ существует единственный $k>0$.
Условия существования и число решений (коротко):
- Углы должны быть положительны и суммироваться в $\pi$: $A,B,C>0,A+B+C=\pi$.
- Медиана должна быть положительна: $m>0$.
- Если эти условия выполнены, треугольник существует и единственен (единственный up to равенство/зеркальность). (Если максимальный угол не уникален — например $A=B$ — это просто случай равнобедренного треугольника; треугольник всё равно однозначно определяется углами и масштабом.)
Пошаговая конструкция (чисто конструктивно, циркулем и линейкой):
1. Проверьте и подпишите данные: углы $A,B,C$ такие, что $A+B+C=\pi$, определите, какой угол наибольший (пусть это $A$); дана длина медианы $m$ к стороне $a$ (противоположной $A$).
2. Постройте произвольный эталонный треугольник $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ с углами $A,B,C$. Удобно: на прямой возьмите точку $B^{\prime }$, от неё постройте луч и на нём угол $B$, из другой точки $C^{\prime }$ постройте угол $C$; пересечение этих лучей даст вершину $A^{\prime }$. (Длина основания $B^{\prime }{C}^{\prime }$ выбирается произвольно.)
3. В эталонном треугольнике найдите середину $M^{\prime }$ стороны $B^{\prime }{C}^{\prime }$ и постройте медиану $A^{\prime }{M}^{\prime }$. Измерьте её длину $m^{\prime }=A^{\prime }{M}^{\prime }$ циркулем или отрезком.
4. Найдите масштабный коэффициент $k=\frac{m}{m^{\prime }}$. (Это можно сделать стандартной операций с отрезками: на произвольном луче отложить отрезки длины $m^{\prime }$ и $m$, провести параллели/треугольники для построения отношения, либо напрямую отложением деления и умножения отрезков.)
5. Сделайте гомотетию эталонного треугольника с центром в точке $A^{\prime }$ и коэффициентом $k$ (умножая все расстояния от $A^{\prime }$ на $k$): построить лучи $A^{\prime }{B}^{\prime }$ и $A^{\prime }{C}^{\prime }$ и на них отложить отрезки $A^{\prime }B=A^{\prime }{B}^{\prime }\cdot k$ и $A^{\prime }C=A^{\prime }{C}^{\prime }\cdot k$ (это делается геометрически по пропорции). Получите точки $B$ и $C$; вершина $A=A^{\prime }$ остаётся. Тогда треугольник $ABC$ имеет углы $A,B,C$ и медиану $AM$ длины $m$.
6. Проверка: середина $M$ отрезка $BC$ при такой гомотетии соответствует $M^{\prime }$, и длина медианы $AM=k\cdot A^{\prime }{M}^{\prime }=m$ по построению.
Замечания:
- Вместо явной гомотетии можно прямо строить сторону $BC$ по пропорциям сторон (через закон синусов и найденный $k$): положив $a=k\sin A$, $b=k\sin B$, $c=k\sin C$, но практически удобнее строить эталонный треугольник и растягивать его гомотетией.
- Если одна из данных нарушена (углы не суммируют $\pi$ или $m\le 0$), решений нет.
Это полная конструкция и анализ существования/единственности.