Дадим общую и краткую классификацию; обозначения и формулы — в двох вариантах (ориентированные расстояния — «signed», и обычные неотрицательные расстояния).
Пусть две прямые заданы в декартовой форме
$$L_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0,L_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0,$$ ${\ell }_i=\sqrt{a_i^2+b_i^2}$. Тогда ориентированное (signed) расстояние от точки $(x,y)$ до $L_i$ $$s_i=\frac{a_{i}x+b_{i}y+c_i}{{\ell }_i},$$ и обычное (неотрицательное) расстояние $d_i=|s_i|$.
1) Разность расстояний
a) Ориентированная разность $s_1-s_2=k$. Это линейное уравнение:
$$\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{{\ell }_1}-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{{\ell }_2}=k,$$ то есть геометрическое место — прямая (вырождено или пусто только при несовместности).
b) Обычная разность (модуль) $|d_1-d_2|=k$. Так как $d_i=|s_i|$, нужно рассмотреть четыре варианта знаков $s_i=\pm d_i$. В каждом варианте получаем линейное уравнение
$${\epsilon }_1\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{{\ell }_1}+{\epsilon }_2\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{{\ell }_2}=k,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2=\pm 1,$$ и геометрическое место — объединение частей (отрезков/лучей/всех прямых) этих не более чем четырёх прямых, причём для каждой прямой сохраняется требование соответствующих знаков $s_i$. Частные случаи:
- если прямые параллельны (нормали пропорциональны), то множество — не более двух прямых, параллельных данным; при расстоянии между прямыми $D$ решение существует только при $0\le k\le D$ (иначе пусто);
- если $k=0$ получаем множество точек, равноудалённых от прямых — биссектрисы углов между ними (для ориентированной разности это одна прямая $s_1=s_2$, для обычной — внутренняя и внешняя биссектрисы).
Полярная запись (удобна, если заданы нормали и расстояния от начала): пусть $L_i$ имеют нормальные углы ${\varphi }_i$ и ориентированные расстояния от начала $p_i$, тогда
$$s_i=r\cos (\theta -{\varphi }_i)-p_i.$$ Тогда ориентированная разность даёт
$$r(\cos (\theta -{\varphi }_1)-\cos (\theta -{\varphi }_2))=k+p_1-p_2,$$ откуда (при ненулевом знаменателе)
$$r=\frac{k+p_1-p_2}{\cos (\theta -{\varphi }_1)-\cos (\theta -{\varphi }_2)}.$$ Для обычной разности для каждой комбинации знаков ${\epsilon }_i$ имеем
$$r({\epsilon }_1\cos (\theta -{\varphi }_1)+{\epsilon }_2\cos (\theta -{\varphi }_2))=k+{\epsilon }_1{p}_1+{\epsilon }_2{p}_2,$$ и аналогично выражение для $r$.
2) Отношение расстояний
a) Ориентированное отношение $s_1=\lambda s_2$ ($\lambda$ — постоянная). Это также линейное уравнение:
$$\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{{\ell }_1}-\lambda \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{{\ell }_2}=0,$$ то есть прямая (или вырождение).
b) Обычное отношение $d_1/d_2=\lambda >0$. Рассматриваем комбинации знаков: ${\epsilon }_1{s}_1=\lambda {\epsilon }_2{s}_2$ с ${\epsilon }_i=\pm 1$. Для каждой комбинации получаем линейное уравнение
$${\epsilon }_1\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{{\ell }_1}-\lambda {\epsilon }_2\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{{\ell }_2}=0,$$ и множество — объединение частей соответствующих прямых, где выбранные знаки действительно выполняются. В полярных координатах (с теми же ${\varphi }_i,p_i$) ориентированное равенство даётся
$$r(\cos (\theta -{\varphi }_1)-\lambda \cos (\theta -{\varphi }_2))=p_1-\lambda p_2,$$ откуда
$$r=\frac{p_1-\lambda p_2}{\cos (\theta -{\varphi }_1)-\lambda \cos (\theta -{\varphi }_2)}.$$ для неподписанных — аналогично с ${\epsilon }_i$.
Коротко о важных особенностях
- Если брать ориентированные расстояния, и разность или отношение заданы фиксированными числами, то всегда получается прямая (линейное уравнение).
- Если брать обычные неотрицательные расстояния, то геометрическое место — объединение частей не более чем четырёх прямых, получающихся из всех вариантов знаков; каждая ветвь ограничена областями, где соответствующие знаки $s_i$ верны.
- Специальные случаи: $k=0$ или $\lambda =1$ даёт биссектрисы; для параллельных прямых ограничения по $k$ (максимум — расстояние между прямыми); при нулевом знаменателе в полярной форме соответствующие углы исключены (нет решения при данном $\theta$).
Этого достаточно для полного описания: в Cartesian — формулы с $s_i$ выше; в polar — выражения для $r$ через $\theta$.