Кратко о свойствах (формулы в сыром KaTeX):
- Инверсия с центром в точке $O$ и радиусом $R$ переводит точку $X$ в точку $X^{\prime }$, такую что $OX\cdot O{X}^{\prime }=R^2.$ - Инверсия сохраняет углы (ориентация не меняется) и переводит «обобщённые окружности» в «обобщённые окружности»: окружность, не проходящую через $O$, — в окружность; окружность, проходящую через $O$, — в прямую, не проходящую через $O$; прямая, не проходящая через $O$, — в окружность, проходящую через $O$.
- Касание сохраняется: если две окружности касаются, их образы тоже касаются.
Классы задач, которые существенно упрощаются при инверсии
- Задачи о касании (Апполоний): построение окружности, касающейся трёх данных объектов (точка/прямая/окружность). Инверсия часто превращает окружности в прямые, сводя задачу к построению общих касательных.
- Задачи «прямая — окружности»: найти окружности, касающиеся данной прямой(ей) и окружности(ей); инверсия с центром на прямой превращает эту прямую в себя/в окружность и упрощает конфигурацию.
- Задачи с окружностями, проходящими через общую точку (линейзация): окружности через центр инверсии превращаются в прямые.
- Задачи об ортогональности и коаксальности: инверсия сохраняет ортогональность и переводит тяжёлые конфигурации в более простые (например, систему коксиальных окружностей в систему пересекающихся прямых).
- Комбинаторные задачи с многими касаниями (цепочки Стерна/Содди): часто инвертируют так, чтобы одна из окружностей стала прямой, далее применяют простые алгебраические формулы.
Конкретный разбор (типичная и наглядная задача)
Задача: даны две окружности $C_1,C_2$ и точка $P$ (не лежащая на данных окружностях). Построить все окружности, проходящие через $P$ и касающиеся обеих $C_1$ и $C_2$.
Решение через инверсию (шаги):
1. Выполнить инверсию с центром в $P$ и произвольным радиусом $R$. Образы обозначим $C_1^{\prime },C_2^{\prime }$. (Точки на $C_i$ переводятся в рассчитываемые точки по формуле $P{P}^{\prime }\cdot PP=R^2$.)
2. Так как искомые окружности проходят через $P$, их образы будут прямыми. Задача сводится к: найти все прямые, касательные к двух окружностям $C_1^{\prime }$ и $C_2^{\prime }$.
3. Построение общих касательных к двум окружностям — стандартная операция: найти центры $O_1^{\prime },O_2^{\prime }$ и радиусы $r_1^{\prime },r_2^{\prime }$. Гомотетические центры (внешний и внутренний) находятся на прямой $O_1^{\prime }{O}_2^{\prime }$ и удовлетворяют (для внешнего/внутреннего случая)
$O_1^{\prime }H=\frac{r_1^{\prime }}{r_1^{\prime }\pm r_2^{\prime }}{O}_1^{\prime }{O}_2^{\prime }.$ Через каждый такой гомотетический центр проходит пара касательных к обеим окружностям; эти касательные — искомые прямые.
4. Инвертировать найденные прямые обратно: прямая, обратная инверсии, станет окружностью, проходящей через $P$ и касающейся $C_1,C_2$. Получаем все решения.
Почему это проще, чем классическое планиметрическое решение
- После инверсии одна из условий (проходить через $P$) линейризуется — окружности превращаются в прямые. Построение касательных к двум окружностям — стандартная и простая операция (гомотетия, асимптотика), тогда как исходная формулировка — классическая задача Апполония — требует решать систему квадратичных условий для центров искомых окружностей.
- Классический планиметрический (синтетический) подход без инверсии обычно состоит в хитроумных комбинациях гомотетий, вспомогательных окружностей и длинных построений (или в переходе на аналитическую геометрию и решение квадратных уравнений). Инверсия систематически снижает «степень» задачи: вместо поиска окружности (параметры центра и радиуса) с условиями касания — требуется найти прямую (одномерный объект), касающуюся двух окружностей.
- Алгебраически: уравнения окружностей дают квадратичные условия; инверсия часто приводит к линейным условиям или к одному квадратичному вместо совокупности, потому конструкция становится короче и надежнее.
Краткие замечания и советы
- Выбор центра инверсии критичен: полезно брать центр в точке, через которую должна проходить искомая окружность или в точке касания/пересечения, чтобы «линеаризовать» соответствующие условия.
- Оборотимость: каждая полученная прямая даст одну окружность-образ при обратной инверсии; число решений совпадает с ожидаемым числом решений задачи Апполония (до 8 в общем случае).
- Аналогично решаются вариации: окружность, касающаяся двух окружностей и двух прямых; касания с заданными ориентациями (внешнее/внутреннее) — всё сводится к выбору соответствующих касательных после инверсии.
Итого: инверсия особенно полезна для задач с касаниями и с окружностями, проходящими через выбранную точку — она превращает окружности в прямые, делает касание тривиальной инвариантной величиной и значительно упрощает построения по сравнению с «чисто планиметрическим» решением.