Алгоритм (компас и линейка) и объяснение.
Идея: выполнить инверсию с центром в данной точке $P$. Под инверсией окружность, проходящая через $P$, переводится в прямую; прямые, не проходящие через $P$, — в окружности, проходящие через $P$. Значит задача сводится к построению прямой, касательной к двум окружностям, а затем обратной инверсией вернуть её в искомую окружность.
Построение:
1. Выберите удобный радиус инверсии $r$. Для любых точек $A$ и её образа $A^{\prime }$ выполняется
$$PA\cdot P{A}^{\prime }=r^2.$$ 2. Для каждой из заданных непараллельных прямых $l_1,l_2$ постройте её образ при инверсии: возьмите две точки $A,B$ на $l_i$, найдите их образы $A^{\prime },B^{\prime }$ по правилу $PA\cdot P{A}^{\prime }=r^2$ и проведите окружность через $A^{\prime },B^{\prime },P$. Это будут две окружности $c_1,c_2$ (обе проходят через $P$).
3. Постройте все общие касательные прямые к окружностям $c_1,c_2$, не проходящие через $P$. Стандартный способ: пусть $C_1,C_2$ центры, радиусы $R_1,R_2$. Для внешних касательных рассмотрите окружность с центром $C_1$ и радиус $|R_1-R_2|$; из $C_2$ проведите касательные к ней — эти касательные задают направления внешних общих касательных исходных окружностей (аналогично для внутренних касательных). (В результате получается 0, 1 или 2 подходящих прямых.)
4. Для каждой найденной касательной $L^{\prime }$ возьмите две её точки $X,Y$, найдите образы $X^{\prime },Y^{\prime }$ инверсией (по $PX\cdot P{X}^{\prime }=r^2$ и т.д.) и постройте окружность через $X^{\prime },Y^{\prime },P$. Это искомая окружность, касающаяся $l_1,l_2$ и проходящая через $P$.
Число решений и геометрические соображения:
- Количество решений равно числу общих касательных прямых к $c_1$ и $c_2$, не проходящих через $P$. Поэтому максимум — 2, возможны 2, 1 или 0 решений.
- Случай 2: окружности $c_1,c_2$ имеют две различных общих касательных (обычно, когда они пересекаются в двух точках или расположены так, что касательные возможны).
- Случай 1: касательная одна (касание окружностей друг к другу или касательная вырождается).
- Случай 0: никаких общих касательных (например, одна окружность лежит строго внутри другой без касания) — в исходной задаче это означает, что через $P$ нельзя провести окружность, одновременно касающуюся обеих данных прямых.
- В исходных терминах: центр искомой окружности должен лежать на биссектрисе угла между прямыми (так как расстояния до прямых равны), и дополнительно удовлетворять условию $OP=$ расстоянию от центра до прямой; геометрически это даёт пересечение биссектрисы с параболой (фокус — $P$, директриса — одна из прямых), поэтому пересечений может быть 0,1 или 2.
Таким образом конструкция через инверсию даёт эффективный метод и одновременно объясняет случаи отсутствия/единственности/множественности решений.