Формулировка. В треугольнике $ABC$ пусть точки $A^{\prime }\in BC$, $B^{\prime }\in CA$, $C^{\prime }\in AB$. Теорема Чевы: прямые $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ одновременно пересекаются тогда и только тогда, когда
$$\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}\cdot \frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}\cdot \frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=1.$$
1) Синтетическое доказательство (метод «массовых точек», интуитивно синтетическое).
Если $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ пересекаются в одной точке $O$, положим массы (весы) в вершинах $A,B,C$ такими, чтобы $A^{\prime }$ был центром масс точек $B$ и $C$: если на $B$ и $C$ стоят массы $m_B,m_C$, то деление $A^{\prime }$ удовлетворяет
$$\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}=\frac{m_C}{m_B}.$$ Аналогично, для $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ имеем
$$\frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}=\frac{m_A}{m_C},\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=\frac{m_B}{m_A}.$$ Перемножив три равенства, получают
$$\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}\cdot \frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}\cdot \frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=\frac{m_C}{m_B}\cdot \frac{m_A}{m_C}\cdot \frac{m_B}{m_A}=1.$$ Это доказывает необходимость условия.
Обратное: если выполнено $\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}\frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=1$, можно выбрать ненулевые массы $m_A,m_B,m_C$ так, чтобы
$$\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}=\frac{m_C}{m_B},\frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}=\frac{m_A}{m_C},\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=\frac{m_B}{m_A}.$$ (например, задать произвольно $m_A$ и через данные отношения определить $m_B,m_C$; согласованность обеспечена равенством произведения =1). Тогда прямые, соединяющие вершины с соответствующими центрами масс, пересекаются в общем центре масс системы — значит $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ concurrent. Это завершает синтетическое доказательство.
Комментарий: доказательство короткое и наглядное; использует физическую интуицию «равновесия», хорошо работает с положительными частями отрезков.
2) Доказательство через барицентрические координаты.
Введём барицентрические координаты относительно треугольника $ABC$. Пусть произвольная точка представлена в пропорциях $(x:y:z)$ (координаты определены с точностью до ненулевого множителя). Вершины имеют координаты
$$A=(1:0:0),B=(0:1:0),C=(0:0:1).$$ Пересечение прямой $AP$ с стороной $BC$, если $P=(x:y:z)$, имеет координаты пропорциональные $(0:y:z)$ (потому что на стороне $BC$ коорд. первой компоненты ноль, а веса при $B,C$ равны $y,z$). Для такой точки отношение деления стороны $BC$ равно
$$\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}=\frac{z}{y}.$$ Аналогично, если пересечение $BP\cap CA$ равно $B^{\prime }=(x:0:z)$, то
$$\frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}=\frac{x}{z},$$ и если $CP\cap AB=C^{\prime }=(x:y:0)$, то
$$\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=\frac{y}{x}.$$ Если прямые $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ пересекаются в точке $P=(x:y:z)$, перемножая получаем
$$\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}\cdot \frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}\cdot \frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=\frac{z}{y}\cdot \frac{x}{z}\cdot \frac{y}{x}=1.$$ Это даёт необходимость. Обратное: если для заданных точек на сторонах выполнено
$\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}\frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=1$, то существуют ненулевые числа $x,y,z$ такие, что
$\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}=\frac{z}{y}$, $\frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}=\frac{x}{z}$, $\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=\frac{y}{x}$; тогда точка $P=(x:y:z)$ лежит одновременно на $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$, значит прямые пересекаются. Это доказывает достаточность.
3) Сравнение наглядности и универсальности.
- Наглядность: доказательство массами очень интуитивно и коротко — удобно для геометрических задач и устных решений. Оно опирается на физическую метафору и легко запоминается.
- Универсальность и строгость: барицентрические координаты дают алгебраическое, координатное доказательство, работающее с направленными отрезками, в проективной обстановке и легко обобщается (набирает силу при решении более сложных систем прямых, при вычислениях, в аналитической геометрии). Координатный метод формализуем и применим, когда синтетические приёмы громоздки.
- Вывод: для «чистой» и быстрой интуиции удобны массовые точки/синтетика; для формальных, общих или вычислительных задач предпочтительны барицентрические (координатные) методы.