Формулировка (теорема Пика). Пусть $P$ — простой (не самопересекающийся) многоугольник на плоскости, все вершины которого имеют целые координаты. Обозначим через $A$ его площадь, через $I$ — число целых точек, строго внутренних для $P$, и через $B$ — число целых точек на границе $P$. Тогда
$$A=I+\frac{B}{2}-1.$$
Краткое обоснование (схема доказательства).
1. Аддитивность. Если два простых многоугольника с целыми вершинами $P_1,P_2$ стыкуются по отрезку с целыми концами и дают $P=P_1\cup P_2$, то площади и соответствующие числа целых точек складываются так, что формула сохраняется. Поэтому достаточно доказать теорему для треугольников с целыми вершинами и для единичных «атомарных» треугольников, из которых собирается всякая триангуляция.
2. Триангуляция. Любой простой целочисленный многоугольник можно триангулировать диагоналями, соединяющими вершины. При необходимости диагональ, проходящая через промежуточные целые точки, делится на отрезки — тогда получаются треугольники с вершинами в целых точках. Благодаря аддитивности достаточно проверить формулу для любого простого целочисленного треугольника.
3. Базовый случай — примитивный треугольник. Треугольник называют примитивным, если на его сторонах нет целых точек, кроме вершин (тогда $B=3$ и $I=0$). В таком случае можно применить целочисленную аффинную преобразующую матрицу из $SL(2,\mathbb{Z})$ (юнитомодулярную), переводящую два соседних вектора стороны в базисные векторы — такие преобразования сохраняют решётку и ориентированную площадь. Тогда примитивный треугольник переводится в стандартный правый треугольник с катетами длины $1$, у которого площадь $\frac{1}{2}$. Следовательно для примитивного треугольника $A=\frac{1}{2}$, а правосторонняя часть формулы даёт $I+\frac{B}{2}-1=0+\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$.
4. Разложение сложного треугольника на примитивные. Любой целочисленный треугольник можно разрезать по целочисленным точкам на стороны и диагонали на примитивные треугольники; из аддитивности получаем формулу для произвольного треугольника, а затем — для любого многоугольника.
Следствия и приложения.
- Быстрый способ вычисления площади целочисленного многоугольника по счёту целых точек: если можно легко посчитать $I$ и $B$, то $A$ даётся по формуле выше. Обратное: если известна площадь и $B$, можно найти $I$.
- Выводы о возможных парах $(I,B)$ для заданной площади и наоборот; полезно в дискретной геометрии и комбинаторике решёток.
- Связь с теорией Эрдхарта (Ehrhart): для целочисленных многогранников в целом число целых точек в гомотетии размера $t$ — многочлен от $t$; у планарного случая ведущие коэффициенты связаны с площадью и периметром (Pick — частный случай для $t=1$).
- Практическое применение: проверка корректности вычисления площади по формуле Гаусса (shoelace) через независимый подсчёт целых точек; задачи на разбиение фоновых областей на ячейки, компьютерная графика, кодирование форм решёток.
- Обобщения: для области с $h$ «дырами» (внешняя и $h$ внутренних компонент границы) формула принимает вид
$$A=I+\frac{B}{2}-1+h,$$ а в более общей алгебраико-топологической формулировке правая часть содержит характеристику Эйлера области. В размерностях выше 2 прямого аналога в виде простой формулы в терминах $I$ и $B$ нет; изучением таких обобщений занимается теория Эрдхарта и комбинаторная геометрия решёток.
Пример (иллюстрация). Пусть прямоугольник с вершинами в $(0,0),(w,0),(w,h),(0,h)$, где $w,h\in {\mathbb{Z}}_{>0}$. Тогда $A=wh$, $B=2(w+h)$, $I=(w-1)(h-1)$. Подставляя, получаем
$$I+\frac{B}{2}-1=(w-1)(h-1)+(w+h)-1=wh,$$ что согласуется с теоремой.
Это — сжатая, но завершённая версия теоремы Пика, её доказательства и основных приложений.