Формулировка. Пусть тетраэдр задан вершинами $A_0,A_1,A_2,A_3$. Обозначим векторы от одной фиксированной вершины (скажем, от $A_0$) к трём другим:
$$v_1=A_0{A}_1,v_2=A_0{A}_2,v_3=A_0{A}_3.$$ Тогда объём тетраэдра равен
V=16∣det⁡[v1 v2 v3]∣. V=\frac{1}{6}\bigl|\det[v_1\;v_2\;v_3]\bigr|.
V=61 det[v1 v2 v3 ] .
Далее введите матрицу Грама скалярных произведений этих векторов:
G=(⟨vi,vj⟩)i,j=13=(⟨v1,v1⟩⟨v1,v2⟩⟨v1,v3⟩⟨v2,v1⟩⟨v2,v2⟩⟨v2,v3⟩⟨v3,v1⟩⟨v3,v2⟩⟨v3,v3⟩). G=\bigl(\langle v_i,v_j\rangle\bigr)_{i,j=1}^3 =
\begin{pmatrix}
\langle v_1,v_1\rangle & \langle v_1,v_2\rangle & \langle v_1,v_3\rangle\\[4pt]
\langle v_2,v_1\rangle & \langle v_2,v_2\rangle & \langle v_2,v_3\rangle\\[4pt]
\langle v_3,v_1\rangle & \langle v_3,v_2\rangle & \langle v_3,v_3\rangle
\end{pmatrix}.
G=(⟨vi ,vj ⟩)i,j=13 = ⟨v1 ,v1 ⟩⟨v2 ,v1 ⟩⟨v3 ,v1 ⟩ ⟨v1 ,v2 ⟩⟨v2 ,v2 ⟩⟨v3 ,v2 ⟩ ⟨v1 ,v3 ⟩⟨v2 ,v3 ⟩⟨v3 ,v3 ⟩ .
Доказательство формулы Грама для объёма. Если $V$ — матрица-столбецный набор векторов $v_1,v_2,v_3$, то
$$G=V^{T}V.$$ По свойству определителей
$$\det G=\det (V^{T}V)=\det (V^T)\det (V)=(\det V{)}^2.$$ Отсюда
∣det⁡V∣=det⁡G, \bigl|\det V\bigr|=\sqrt{\det G},
detV =detG , и, подставляя в формулу объёма,
$$\boxed{V=\frac{1}{6}\sqrt{\det G}}.$$ Если тетраэдр вырожден, то матрица $G$ вырождена и $\det G=0$.
Пример, где аналитический подход удобнее. Рассмотрим тетраэдр с вершинами
$$A_0=(0,0,0),A_1=(1,0,0),A_2=(0,1,0),A_3=(1,1,1).$$ Тогда
$$v_1=(1,0,0),v_2=(0,1,0),v_3=(1,1,1),$$ и матрица Грама
G=(⟨v1,v1⟩⟨v1,v2⟩⟨v1,v3⟩⟨v2,v1⟩⟨v2,v2⟩⟨v2,v3⟩⟨v3,v1⟩⟨v3,v2⟩⟨v3,v3⟩)=(101011113). G=\begin{pmatrix}
\langle v_1,v_1\rangle & \langle v_1,v_2\rangle & \langle v_1,v_3\rangle\\[4pt]
\langle v_2,v_1\rangle & \langle v_2,v_2\rangle & \langle v_2,v_3\rangle\\[4pt]
\langle v_3,v_1\rangle & \langle v_3,v_2\rangle & \langle v_3,v_3\rangle
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0&1\\[4pt]
0&1&1\\[4pt]
1&1&3
\end{pmatrix}.
G= ⟨v1 ,v1 ⟩⟨v2 ,v1 ⟩⟨v3 ,v1 ⟩ ⟨v1 ,v2 ⟩⟨v2 ,v2 ⟩⟨v3 ,v2 ⟩ ⟨v1 ,v3 ⟩⟨v2 ,v3 ⟩⟨v3 ,v3 ⟩ = 101 011 113 . Вычисляем определитель:
$$\det G=1\cdot (1\cdot 3-1\cdot 1)-0+1\cdot (0\cdot 1-1\cdot 1)=2-1=1.$$ По формуле Грама
$$V=\frac{1}{6}\sqrt{1}=\frac{1}{6}.$$
Комментарий о преимуществе аналитического подхода. Если даны длины рёбер или скалярные произведения векторов (или углы между рёбрами), то синтетически (чисто геометрическими построениями) вывести объём громоздко и неочевидно. Матрица Грама (или эквивалентно формула Кейли — Менгера) даёт прямую алгебраическую формулу, позволяющую вычислить объём напрямую через детерминант, без построений и разбиений тетраэдра.