Кратко — несколько разных способов доказательства теоремы Менелая, их сильные стороны и как переносить утверждения в сферу/пространство.
Формулировка (планиметрия, ориентированные отрезки). Для треугольника $ABC$ и точек $X\in BC$, $Y\in CA$, $Z\in AB$ коллинеарность $X,Y,Z$ эквивалентна
$$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=-1.$$
1) Доказательство через подобие треугольников (классика)
- Идея: провести через одну из точек прямую, построить пары подобных треугольников и получить отношение отрезков.
- Плюсы: наглядно, минимальные предпосылки (построения, подобие).
- Минусы: требует аккуратной работы с ориентацией; плохо масштабируется в 3D/сферу.
2) Доказательство через отношения площадей
- Идея: выразить отношения отрезков через отношения площадей треугольников с общими высотами, сократить и получить произведение.
- Плюсы: легко переносится в любую аффинную среду; удобно для задач с площадями.
- Минусы: использует линейность (аффинность) — не переносится напрямую на сферу.
3) Векторный / барицентрический (координатный) подход
- Идея: ввести координаты (аффинные или барицентрические) в плоскости треугольника и записать условие коллинеарности (детерминант/компоненты). Получаем ту же алгебраическую формулу Менелая.
- Плюсы: строгий, алгоритмический, легко обобщается в аффинном пространстве размерности >2 (сведение к плоскости с треугольником).
- Минусы: не работает там, где не действует идея «аддитивных» комбинаций (сфера).
4) Метод «массовых точек»
- Идея: поставить массы в вершинах так, чтобы равновесие на сторонах давало нужные отношения; коллинеарность эквивалентна балансу.
- Плюсы: быстрый для задач-вычислений, интуитивен.
- Минусы: тривиален в плоскости, неприменим на сфере в явном виде.
5) Проективно-геометрический / через отношение перекрёстков (cross-ratio)
- Идея: Менелай — следствие проективных инвариантов; можно выводить из свойства проекции прямой в прямую и сохранения кросс-отношения.
- Плюсы: мощный, легко адаптируется к проективной и сферической геометрии (через центральную проекцию на сферу/плоскость).
- Минусы: требует знаний проективной теории; при переносе на сферу нужно учитывать конкретную проекцию.
6) Тригонометрическая форма Менелая
- Формула: для точек $X\in BC,Y\in CA,Z\in AB$ коллинеарность эквивалентна
$$\frac{\sin \angle BAX}{\sin \angle XAC}\cdot \frac{\sin \angle CBY}{\sin \angle YBA}\cdot \frac{\sin \angle ACZ}{\sin \angle ZCB}=1.$$ - Плюсы: легко обобщается на сферу (входит через теорему синусов) и на «неевклидову» тригонометрию.
- Минусы: требует работы с углами, не так прост для задач, где проще работать с длинами.
Как переносить в сферу (сферическая Менелая)
- Сферическая версия (точки и дуги на больших кругах). Для сферического треугольника $ABC$ и большой окружности, пересекающей (продолжения) сторон в точках $X\in BC,Y\in CA,Z\in AB$, выполняется (для согласованных ориентированных дуг)
$$\frac{\sin (AX)}{\sin (XB)}\cdot \frac{\sin (BY)}{\sin (YC)}\cdot \frac{\sin (CZ)}{\sin (ZA)}=1.$$ (Здесь длины — угловые расстояния вдоль больших кругов; можно давать знак через ориентирование.) Это получается из применения сферической теоремы синусов к треугольникам, образуемым пересечающимися большими кругами.
Как получить сферическую форму из планарной:
- Gnomonic (центрическая) проекция: проекция центра сферы на касательную плоскость переводит большие круги в прямые. Под этой проекцией угловое расстояние $d$ от точки касания переходит в радиальную координату $r=\tan d$. Тогда, применив планиметрию к проекциям точек, получаем равенство вида
$$\frac{\tan (AX)}{\tan (XB)}\cdot \frac{\tan (BY)}{\tan (YC)}\cdot \frac{\tan (CZ)}{\tan (ZA)}=1,$$ что эквивалентно сферической форме через преобразования с помощью тригонометрии. Альтернативно через сферическую теорему синусов напрямую получают синусовую форму.
Сравнение применимости методов (кратко)
- Подходы, основанные на аффинности/подобии/площадях/масса́х: работают в евклидовой плоскости и легко переносятся в аффинное пространство/стереометрию при сведении к пересекающей плоскости; не годятся прямо для сферы (потому что «прямые» — большие круги — не являются аффинными линиями).
- Векторные и барицентрические методы: универсальны в евклидовой аффинной среде; в 3D удобно использовать плоскость, содержащую треугольник, и свести к плоскости. Для сферы их надо заменить векторы радиусов и плоскости через центр — тогда появляется синус/тангенс-факторы.
- Тригонометрическая и проективная аргументации: лучше всего адаптируются к сфере. Проективный подход + центральные проекции позволяют формально связать планарную и сферическую версии (через свойства образа больших кругов).
- Массовые точки и прямые подобия — быстры для плоскости, не годятся на сфере.
Как переходить от планиметрии к стереометрии (общая схема)
- Если фигура лежит в одной плоскости в 3D — просто применять планиметрические теоремы в этой плоскости.
- Для утверждений о пересечениях плоскостей/прямых в пространстве удобно использовать ориентированные объёмы (скалярные тройные произведения) и аффинные координаты — это прямая обобщённость планиметрических векторных доказательств.
- Для объектов на поверхности сферы: либо работать в 3D с радиус-векторами и плоскостями, задающими большие круги (тогда тригонометрия и линии пересечения плоскостей дают синусовую форму), либо применять специальные проекции (gnomonic для прямых, stereographic для углов), переводить задачу в плоскость и учитывать, как метрика преобразуется (вводя факторы $\tan$ или $\sin$).
- Проективная мысль: если утверждение инвариантно относительно проективных преобразований, его можно «поднять» или «опустить» между сфере и плоскостью через центральную проекцию.
Короткое резюме для выбора метода
- Нужна простая геометрия/контестная задача на плоскости — подобие/площади/массы.
- Нужно формальное доказательство или обобщение в аффинных/пространственных условиях — вектор/координаты/Ориентированные объёмы.
- Нужно перенос на сферу или неевклидову тригонометрию — тригонометрическая форма или проективный/проекционный подход (gnomonic → tan-форма, синус-форма через сферическую теорему синусов).
Если нужно — могу написать полные доказательства каждой из перечисленных версий (планарной, тригонометрической, сферической, через gnomonic) по шагам.