Коротко введу обозначения, затем сформулирую и докажу результаты для чётного и нечётного $n$, приведу частные случаи.
Обозначения. Пусть вершины вписанного в окружность многоугольника упорядочены по кругу, длина стороны между вершинами $i$ и $i+1$ (индексы по модулю $n$) равна
$$a_i=2R\sin \frac{{\alpha }_i}{2},$$ где $R$ — радиус окружности, ${\alpha }_i\in (0,2\pi )$ — соответствующая центральная дуга, и
$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=2\pi .$$ Пара «противоположных сторон» естественно задаём так: при чётном $n=2m$ сторона $a_i$ противоположна $a_{i+m}$. При нечётном $n=2m+1$ можно рассматривать «противоположную» сторону сдвигом $m$ (т.е. пару $a_i$ и $a_{i+m}$); в этом случае каждая сторона входит в пары сдвига $m$, но пар «все попарно» не получится — ниже это учтено.
1) Случай чётного $n=2m$.
Условие «сумма противоположных сторон постоянна (одна и та же для всех пар)» записывается как
$$a_i+a_{i+m}=C\text{для всех}i=1,\dots ,m,$$ или в терминах углов
$$\sin x_i+\sin x_{i+m}=\kappa ,x_i:=\frac{{\alpha }_i}{2},\sum _{i=1}^{2m}{x}_i=\pi ,\kappa :=\frac{C}{2R}.$$ Это система из $m$ уравнений для $2m$ неизвестных $x_1,\dots ,x_{2m}$ с одним суммарным ограничением $\sum x_i=\pi$. Следствия и конструкция решений:
- Суммирование по $i=1,\dots ,m$ даёт
$$\sum _{i=1}^{2m}\sin x_i=m\kappa ,$$ а значит средняя длина стороны $\bar{a}$ связана с $C$ как $C=2\bar{a}$. Т.е. требование постоянства сумм лишь фиксирует сумму всех сторон и диктует, что каждая пара даёт эту же сумму.
- Конструкторно: можно свободно задать $x_1,\dots ,x_m$ (в допустимых пределах, чтобы все $x_i\in (0,\pi )$ и ${\sum }_{i=1}^m{x}_i<\pi$). Тогда искомые $x_{i+m}$ должны удовлетворять
$$\sin x_{i+m}=\kappa -\sin x_i.$$ Параметр $\kappa$ подбирается так, чтобы выполнено суммарное условие
$$\sum _{i=1}^m{x}_{i+m}=\pi -\sum _{i=1}^m{x}_i.$$ Функция $y\mapsto \arcsin (\kappa -\sin x_i)$ непрерывна по $\kappa$ на подходящем диапазоне, поэтому существует (как правило неединственное) $\kappa$ дающее требуемую сумму; для каждого $i$ возможны два значения $x_{i+m}$ из-за $\arcsin$ (если аргумент в допустимом диапазоне). Следовательно для чётного $n$ множество решений большого размера: регулярный многоугольник — лишь частный случай.
Частные случаи:
- регулярный $2m$-угольник: все $x_i=\pi /(2m)$, тогда $a_i$ одинаковы и $a_i+a_{i+m}=2a_i=$ константа;
- центрально-симметричный вписанный $2m$-угольник (${\theta }_{i+m}={\theta }_i+\pi$) даёт $a_{i+m}=a_i$, тогда $a_i+a_{i+m}=2a_i$ (константа по i только если все $a_i$ равны, т.е. снова регулярный случай).
Итого: при чётном $n$ требование даёт систему, имеющую множество (как правило непрерывных) решений; регулярный многоугольник — частный случай, но не единственный.
2) Случай нечётного $n=2m+1$.
Требуем, чтобы для всех $i$ выполнялось одно и то же
$$a_i+a_{i+m}=C(i=1,\dots ,2m+1),$$ где индексация по модулю $2m+1$. В терминах $x_i={\alpha }_i/2$:
$$\sin x_i+\sin x_{i+m}=\kappa \text{для всех}i,\sum _{i=1}^{2m+1}{x}_i=\pi .$$ Суммирование по всем $i$ даёт
$$2\sum _{i=1}^{2m+1}\sin x_i=(2m+1)\kappa .$$ Но сдвиговая симметрия уравнений (каждое уравнение одинакового вида) и периодичность индексов приводят к сильному ограничению. Краткое доказательство необходимости равенства всех $x_i$ (и следовательно регулярности):
- Из каждого уравнения выразим разность:
$$\sin x_{i+m}-\sin x_i=\sin x_{j+m}-\sin x_j\text{для всех}i,j,$$ т.е. числа $\sin x_{i+m}-\sin x_i$ равны при всех $i$. Сумма этих одинаковых величин по $i=1,\dots ,2m+1$ равна нулю (циклически суммируются те же разности), значит каждая такая разность равна нулю:
$$\sin x_{i+m}=\sin x_i\forall i.$$ - Так как все $x_i\in (0,\pi )$, из $\sin x_{i+m}=\sin x_i$ следует либо $x_{i+m}=x_i$ либо $x_{i+m}=\pi -x_i$. Повторяя сдвиг $m$ раз и пользуясь нечётностью $2m+1$ получаем неизбежно $x_i$ одинаковы для всех $i$ (вариант $x_{i+m}=\pi -x_i$ даёт противоречие с суммой $\sum x_i=\pi$ при нечётном количестве слагаемых). Более формально: композиция сдвигов даёт циклическое уравнение, единственным его положительным решением с суммой $\pi$ является $x_i\equiv \pi /(2m+1)$.
- Следовательно все $x_i$ равны и многоугольник регулярный; обратное очевидно: регулярный $(2m+1)$-угольник удовлетворяет условию.
Итого: при нечётном $n$ требование «сумма противоположных сторон постоянна для всех пар» влечёт, что многоугольник регулярный; при чётном $n$ существует большой класс решений (регулярный — частный случай), конструктивно описываемый выбором первой половины дуг и подбором второй половины через уравнения $\sin x_{i+m}=\kappa -\sin x_i$ с выполнением суммарного условия.
3) Частные малые случаи.
- $n=3$ (треугольник): понятие «противоположных сторон» в чистом виде не применяется; условие по аналогии (сдвиг $m=1$) даёт регулярный треугольник.
- $n=4$ (вписанный четырёхугольник): требование $a_1+a_3=a_2+a_4$ — одно уравнение; существует множество невырожденных решений (в частности любой набор $a_1,a_2$ с подходящими $a_3,a_4$ реализуем), регулярный квадрат — частный случай.
- $n=5$: по предыдущему пункту единственный возможный (невырожденный) вписанный пятиугольник с постоянной суммой «противоположных» (в смысле сдвига 2) — правильный пятиугольник.
Замечание о доказательствах: основная техника — представление длин сторон через синусы полудуг и разложение суммы по парам, использование сдвигов индексов и свойства функции $\sin$ (монотонность/симметрия на $(0,\pi )$) для нечётного $n$. Для чётного $n$ конструкция через обратную функцию $\arcsin$ и суммарное уравнение показывает существенную степень свободы в выборе вершин.
Если нужно, могу дать подробные пошаговые доказательства каждого из утверждений (в частности, полный формальный вывод, что при нечётном $n$ единственное решение — регулярный многоугольник).