Определение и основные свойства (коротко)
- Инверсия с центром $O$ и радиусом $r$ переводит точку $X\ne O$ в точку $X^{\prime }$ на луче $OX$ так, что $OX\cdot O{X}^{\prime }=r^2.$ В координатах с центром в $O$: $x\mapsto x^{\prime }=\frac{r^2}{|x{|}^2}x.$ - Инверсия сохраняет угол между кривыми (конформна) и, следовательно, сохраняет касательное отношение (две кривые касаются тогда и только тогда, когда их образы касаются), за исключением ситуаций, связанных с центром инверсии (см. ниже).
- Правила отображения простых фигур:
- прямая, не проходящая через $O$, переходит в окружность, проходящую через $O$;
- прямая, проходящая через $O$, переходит в себя;
- окружность, не проходящая через $O$, переходит в окружность, не проходящую через $O$;
- окружность, проходящая через $O$, переходит в прямую (не проходящую через $O$).
Алгоритм превращения задач о касательных и секущих с помощью инверсии (обобщённо)
1. Выбрать центр инверсии так, чтобы он упростил конфигурацию: обычно это внешняя/внутренняя точка с большим числом пересечений/касательных (часто выбирают центр в одной из специальных точек: точка пересечения данных прямых/касательных, точка $P$ от которой идут касательные и т. п.).
2. Выбрать радиус произвольно (часто удобно взять $r=1$ или выбрать $r$ так, чтобы образ некоторой окружности оказался желаемым).
3. Преобразовать все данные задачи: окружности ↔ окружности/прямые по правилам выше; точки пересечения и касание сохраняются (если не связано с центром).
4. Решить упрощёную задачу (обычно касательные превращаются в прямые, окружности через центр — в прямые, задача о поиске окружностей через данную точку сводится к поиску прямых).
5. Вернуть найденные объекты обратной инверсией в исходную конфигурацию.
Конкретный пример с доказательством
Задача. Дана окружность $S$ с центром $O$ и точка $P\notin S$. Построить окружности, проходящие через $P$ и касающиеся $S$ (найти все такие окружности).
Решение инверсией. Возьмём инверсию с центром в $P$ и произвольным радиусом $r$.
1. При инверсии всякая окружность, проходящая через $P$, переходит в прямую (обозначим образ $S$ через $S^{\prime }$). Условие «искомая окружность $\Gamma$ проходит через $P$ и касается $S$» эквивалентно условию «образ ${\Gamma }^{\prime }$ — прямая, касающаяся $S^{\prime }$». Действительно, $\Gamma$ проходит через центр инверсии $\Rightarrow$ ${\Gamma }^{\prime }$ — прямая; касание сохраняется конформностью.
2. Значит, задача сводится к построению прямых, касательных к окружности $S^{\prime }$. Если $S^{\prime }$ — обычная окружность, из каждой внешней точки к окружности можно провести две касательные. Тут точка — не нужна, мы просто ищем касательные в плоскости: существует ровно две прямые, касательные к $S^{\prime }$, если требование эквивалентно выбору касательных вообще (они определяются точками касания на $S^{\prime }$).
3. Нахождение точек касания на $S^{\prime }$ — стандартная геометрия: провести через центр $O^{\prime }$ (центра $S^{\prime }$) радиусы к точкам касания и перпендикуляры к касательным и т.д. Получаем две прямые $l_1,l_2$, касательные к $S^{\prime }$.
4. Обратной инверсией каждая такая прямая $l_i$ (не проходящая через $P$) переходит в окружность ${\Gamma }_i$, проходящую через $P$ и касающуюся $S$. Таким образом мы получили ровно две искомые окружности (если исходные положения позволяли касательные; в частных случаях может быть одна или ноль решений).
Краткое доказательство корректности перехода:
- Пусть $\Gamma$ проходит через $P$ и касается $S$ в точке $T$. Тогда образ ${\Gamma }^{\prime }$ — прямая, образ $T$ — $T^{\prime }$; так как инверсия сохраняет углы, прямая ${\Gamma }^{\prime }$ касается $S^{\prime }$ в $T^{\prime }$. Обратно, любая прямая $l$, касающаяся $S^{\prime }$ в $T^{\prime }$, берёт обратный образ $\Gamma$ — окружность через $P$, касающаяся $S$ в обратном образе $T$.
- Таким образом соответствует одно-ко-одному (между окружностями через $P$, касающимися $S$, и прямыми, касающимися $S^{\prime }$), что завершает доказательство существования/конструкции.
Ограничения и особые случаи (образ бесконечных прямых и касательность в точке центра инверсии)
- Точка $O$ (центр инверсии) не отображается в плоскости: инверсия не определена в $O$. Поэтому любые утверждения, касающиеся образа или касания в самой точке $O$, требуют отдельного разбора.
- Прямые:
- прямая, не проходящая через $O$, имеет образ — окружность, проходящую через $O$. В пределе «точка на бесконечности» по направлению этой прямой соответствует точке $O$; поэтому можно говорить, что «образ бесконечной прямой» — это окружность через центр инверсии.
- прямая, проходящая через $O$, остаётся прямой (каждая её точка $X\ne O$ обращается в точку на той же прямой).
- Касания, связанные с центром $O$:
- если две кривые касаются в точке, отличной от $O$, то их образы касаются (инверсия сохраняет касание).
- если две кривые касаются именно в $O$ (т.е. обе проходят через центр инверсии), то их образы — две прямые, и касание в $O$ соответствует параллельности образов или совпадению направлений; но локально поведение около $O$ не переводится напрямую через дифференцируемость (инверсия сингулярна в $O$), поэтому нужно рассматривать образы точек, приближающихся к $O$, и проверять параллельность/совпадение образов. В практических задачах это означает: нельзя слепо применять факт «касание сохраняется» если касательная точка — центр инверсии; надо анализировать образы и их взаимное расположение.
- Выбор центра инверсии важен: если выбран центр такой, что важный объект проходит через него, вы получите тип “окружность ↔ прямая”, что часто упрощает задачу; но если нужно работать с локальными касательными в этой точке, будьте осторожны — инверсия разрывает структуру в окрестности центра.
Короткая сводка
- Инверсия превращает задачи о окружностях/касательных в, как правило, более простые (например, окружности через центр ↔ прямые).
- Стандартный приём: выбрать центр инверсии в точке, через которую должны проходить искомые окружности (или в точке пересечения касательных), выполнить замену, решить упрощённую задачу (обычно о прямых и касательных) и обратить результат.
- Нужна аккуратность при работе с объектами, проходящими через центр инверсии, и с идеей «точки на бесконечности» (их образы — центр инверсии).