Обозначим единичный вектор, перпендикулярный $l$, через $n$. Рассмотрим прямую
$$s=\{P+tn\mid t\in \mathbb{R}\}$$ (это все точки, в которые может перейти $P$ при отражении относительно какой‑то прямой, параллельной $l$). Пусть $Q=s\cap m$ (возможны три варианта).
1) $s\cap m=\varnothing$. Тогда нет точки $P^{\prime }\in m$, для которой $P^{\prime }-P\parallel n$, следовательно подходящих отражений нет: множество точек $X$ пусто.
2) $s\cap m=\{Q\}$ (единственная точка). Тогда для такого единственного образа $P^{\prime }=Q$ отражающая прямая должна быть перпендикулярным биссектором отрезка $PQ$, и при этом иметь направление $l$. Значит существует единственная прямая
$$L=\text{прямая через}M=\frac{P+Q}{2}\text{, параллельная}l,$$ и всякая точка $X$ на $L$ даёт нужное отражение. Итого: искомое геометрическое место — вся прямая $L$.
3) $s=m$ (то есть $m$ перпендикулярна $l$ и проходит через $P$). Тогда для любого $t$ точка $P+tn$ лежит на $m$, и соответствующая перпендикулярная биссекторная прямая через середину любого отрезка $P(P+tn)$ параллельна $l$. Значит любая прямая, параллельная $l$, является возможной отражающей прямой, поэтому множество всех точек $X$ — вся плоскость.
Итак, структура решения: множество точек $X$ либо пусто, либо аффинная прямая, параллельная $l$, либо вся плоскость; конкретный случай определяется пересечением $m$ с прямой $s$ через $P$, перпендикулярной $l$.