Обозначим точку пересечения диагоналей $O$. Пусть $AO=a,CO=c,BO=b,DO=d$. Тогда $AC=a+c,BD=b+d$. Так как диагонали перпендикулярны, треугольники $AOB,BOC,COD,DOA$ прямоугольные, поэтому
$$A{B}^2=a^2+b^2,B{C}^2=b^2+c^2,C{D}^2=c^2+d^2,D{A}^2=d^2+a^2.$$
1) Сумма квадратов сторон и диагоналей. Складывая последние равенства, получаем
$$A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2=2(a^2+b^2+c^2+d^2).$$ С другой стороны
$$A{C}^2+B{D}^2=(a+c{)}^2+(b+d{)}^2=a^2+c^2+b^2+d^2+2(ac+bd).$$ Вычитая, получаем тождество
$$\begin{array}{rl}& A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2-(A{C}^2+B{D}^2)\\ & =(a^2+c^2-2ac)+(b^2+d^2-2bd)=(a-c{)}^2+(b-d{)}^2\ge 0.\end{array}$$ Следовательно
$$A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2\ge A{C}^2+B{D}^2,$$ причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда $a=c$ и $b=d$ (диагонали делят друг друга пополам — квадралаты с перпендикулярными диагоналями при этом являются ромбами).
2) Суммы квадратов противоположных сторон. Из формул видно также
$$A{B}^2+C{D}^2=a^2+b^2+c^2+d^2,$$ и поэтому
$$A{C}^2+B{D}^2=(A{B}^2+C{D}^2)+2(ac+bd)\ge A{B}^2+C{D}^2,$$ т.е.
$$A{B}^2+C{D}^2\le A{C}^2+B{D}^2.$$ Аналогично
$$B{C}^2+D{A}^2\le A{C}^2+B{D}^2.$$ (Неравенства строгие для невырожденного выпуклого четырехугольника, так как $ac+bd>0$.)
3) Отдельные стороны. Из равенств $A{B}^2=a^2+b^2$ и т.д. следует, в частности, что каждая сторона определяется раскладкой диагоналей на отрезки; из (1) следует тривиальная оценка
$$\max \{A{B}^2,B{C}^2,C{D}^2,D{A}^2\}\le A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2=A{C}^2+B{D}^2+(a-c{)}^2+(b-d{)}^2,$$ а также по среднему значению хотя бы одна сторона удовлетворяет
$$\max \{AB,BC,CD,DA\}\ge \frac{1}{2}\sqrt{A{C}^2+B{D}^2}.$$ (Последнее вытекает из того, что среднее арифметическое квадратов сторон не меньше $(A{C}^2+B{D}^2)/4$.)
Краткое резюме ключевых соотношений:
$$\begin{array}{rl}& A{B}^2=a^2+b^2,\dots ,D{A}^2=d^2+a^2;\\ & A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2=A{C}^2+B{D}^2+(a-c{)}^2+(b-d{)}^2\ge A{C}^2+B{D}^2;\\ & A{B}^2+C{D}^2\le A{C}^2+B{D}^2,B{C}^2+D{A}^2\le A{C}^2+B{D}^2.\end{array}$$
Эти тождества и неравенства полностью описывают возможные соотношения длин сторон и диагоналей для выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями; равенства достигаются в случае, когда диагонали делят друг друга пополам (ромб).