Ответ: это равносильно тому, что $DA=DB=DC$. Геометрическая интерпретация: точка $D$ лежит на прямой, проходящей через центр описанной окружности $O$ треугольника $ABC$ и перпендикулярной плоскости основания (эксцентральная ось); эквивалентно $D$ — центр сферы, проходящей через $A,B,C$.
Короткое обоснование. Пусть для стороны $AB$ её середина $M$ — точка, в которую падает перпендикуляр из $D$. Тогда условие $DM\perp AB$ эквивалентно
$$D{A}^2-D{B}^2=(D-A{)}^2-(D-B{)}^2=-2(D-M)\cdot (A-B)=0,$$ то есть $DA=DB$. Аналогично для других сторон получаем $DA=DB=DC$. Обратное также верно: если $DA=DB$, то $DM\perp AB$ при $M$ — середине $AB$. Таким образом все три проекции делят стороны пополам ровно тогда, когда $D$ равноудалена от вершин основания.