Коротко — какие ограничения и почему они возникают.
Обозначения. Большой прямоугольник $W\times H$; он разрезан на $n$ равных (конгруэнтных) меньших прямоугольников размером $w\times h$. Допускаем повороты на $90^{\circ }$ (тогда прямоугольник может быть либо ориентации $w\times h$, либо $h\times w$) и все ребра параллельны осям большого прямоугольника.
1) Простая «решётка» (все мелкие одной ориентации, разрезы образуют прямоугольную сетку).
Тогда существует целые $a,b\ge 1$ такие, что $n=ab$,
$$W=aw,H=bh,$$ и поэтому
$$\frac{W}{H}=\frac{a}{b}\cdot \frac{w}{h}.$$ Отсюда: соотношение сторон большого прямоугольника равно соотношению сторон малого, умноженному на рациональную дробь $\frac{a}{b}$.
2) Общий случай с поворотами (и произвольной комбинаторикой разрезов).
Разбиение задаёт набор вертикальных полос и горизонтальных полос; ширины полос — целочисленные суммы ширин малых прям-ков в двух ориентациях, высоты — аналогично. Формально можно записать систему с целыми коэффициентами:
$$W=\sum _i{\alpha }_{i}w+\sum _j{\beta }_{j}h,H=\sum _i{\gamma }_{i}h+\sum _j{\delta }_{j}w,$$ где все коэффициенты ${\alpha }_i,{\beta }_j,{\gamma }_i,{\delta }_j\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ и их сумма равна $n$. Отсюда
$$\frac{W}{H}=\frac{P(w/h)}{Q(w/h)},$$ где $P,Q$ — многочлены с целыми неотрицательными коэффициентами (зависят только от комбинаторики разреза). Следствия:
- если $\frac{w}{h}$ рационально, то и $\frac{W}{H}$ рационально (отношение сторон большого — рациональное сочетание малого);
- для заданной комбинаторики разреза отношение $\frac{W}{H}$ определяется алгебраическим уравнением с целыми коэффициентами, т.е. оно является алгебраическим числом (в простых случаях — рациональным).
3) Следствия и частные утверждения.
- Нельзя (в рамках параллельных сторон) получить произвольное иррациональное соотношение сторон большого прямоугольника из малых с рациональным $w/h$.
- В частности, если маленькие прям-ки подобны (т.\,е. $\frac{w}{h}=\frac{W}{H}$), то из уравнения вида $\frac{W}{H}=\frac{P(W/H)}{Q(W/H)}$ при конечном числе частей обычно следует тривиальность разбиения — для однородной ориентации это даёт $n=1$; нетривиальные случаи возможны только при специальной комбинаторике и соответствующих алгебраических соотношениях (в общем положение изучается в теории разрезаний).
4) Связь с теорией мозаик (tilings) и электрических сетей.
Комбинаторика разреза кодируется плоским графом (ячейки — края, вершины — пересечения линий). Решение размеров — система линейных уравнений с целыми коэффициентами (баланс ширин/высот) — аналогична законам Кирхгофа; это подход использовали Brooks–Smith–Stone–Tutte при изучении «squared rectangles». Отсюда естественно появление рациональных и алгебраических ограничений на соотношения сторон: возможные соотношения определяются решениями линейных/алгебраических уравнений, заданных комбинаторикой мозаики.
Итог (кратко): комбинаторика разреза задаёт целочисленные линейные соотношения между суммами ширин и высот малых прямоугольников, поэтому соотношение сторон большого прямоугольника получается как рациональная (в простых случаях — дробная) или, в общем, алгебраическая функция от соотношения сторон малого. В частых практических случаях это даёт требование рациональности соотношения сторон (или его определённой алгебраической зависимости), и это — причина жестких ограничений, изучаемых в теории мозаик и диссекций.