Краткая историческая сводка и эффект изменения аксиомы параллельности на основные теоремы планиметрии.
1) Евклид (ок. IV в. до н.э.)
- Пятая постулатa (в одной формулировке, Playfair): через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, не пересекающая данную.
- Из этого вытекают привычные евклидовы результаты: сумма углов треугольника $\alpha +\beta +\gamma =\pi$; теорема Пифагора $c^2=a^2+b^2$ (в прямоугольном треугольнике); существование параллельных прямых и прямоугольников; понятие подобия (треугольники с равными углами могут быть неравносоставными — масштабирование).
2) Ньютон (XVII в.)
- Ньютон использовал евклидову геометрию как модель физического абсолютного пространства; он не изменял аксиому параллельности, а применял геометрию в механике и оптике. Философски: евклидова аксиоматика считалась «истинной» для физического пространства до XIX в.
3) Лобачевский, Болай, Гаусс (начало XIX в.) — гиперболическая геометрия
- Отказ от пятикратного постулата: через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную (множество параллелей, есть асимптотические «предельные» параллели).
- Ключевые отличия от Евклида:
- Сумма углов треугольника строго меньше $\pi$: $\alpha +\beta +\gamma <\pi$.
- Площадь треугольника пропорциональна дефекту: $\mathrm{Area}=K(\pi -(\alpha +\beta +\gamma ))$, где $K>0$ (зависит от кривизны).
- Нету ненулевого подобия: треугольники с равными углами оказываются конгруэнтными (масштаб фиксирован кривизной), то есть ненулевых «подобных, но не равных» треугольников нет.
- Прямоугольники с четырьмя прямыми углами не существуют (четырёх прямых углов сумма давала бы $2\pi$, что даёт площадь $0$).
- Законы косинусов и Пифагора меняются: для сторон $a,b,c$ и угла $C$ гиперболический закон косинусов (при едичной нормировке кривизны) например
$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C$.
- Многие аксиоматические следствия Евклида либо искажаются, либо сохраняются в модифицированном виде (напр., SAS/SSS как критерии конгруэнции остаются, но формулы для длин и углов другие).
4) Риман (середина XIX в.) — эллиптическая (сферическая) идея и общая риманова геометрия
- Риман ввёл понятие кривизны пространства и рассматривал случаи положительной постоянной кривизны (эллиптическая/сферическая геометрия). Здесь через точку вне прямой параллелей нет: любые «прямые» (геодезические, на сфере — большие круги) пересекаются.
- Ключевые отличия:
- Сумма углов треугольника больше $\pi$: $\alpha +\beta +\gamma >\pi$.
- Площадь пропорциональна «избытку»: $\mathrm{Area}=K((\alpha +\beta +\gamma )-\pi )$, где $K>0$ (зависит от радиуса/кривизны).
- Как и в гиперболической, нет «множества подобных масштабируемых фигур»: подобие треугольников сводится к конгруэнтности при фиксированной кривизне.
- Сферический закон косинусов: $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$ (при измерении сторон через угловые расстояния на сфере радиуса $1$).
- Прямые (геодезические) пересекаются, параллелей не существует; некоторые евклидовы утверждения (например, существование бесконечно удалённых направлений) теряют смысл.
5) Математическая и логическая эволюция
- Попытки вывести 5-ю постулатa из остальных привели к осознанию её независимости; Лобачевский и Риман показали, что альтернативные системы непротиворечивы (позже модели Белтрами, Клейна, Пуанкаре показали отношение непротиворечивости к евклидовой геометрии).
- Риманова идея дала основу для геометрий с переменной кривизной и стала ключевой в физике (в т.ч. теория относительности использует риманову геометрию для описания пространства-времени).
6) Конкретные последствия для основных теорем планиметрии (сравнение)
- Сумма углов треугольника: Евклид $\alpha +\beta +\gamma =\pi$; гиперболическая $<\pi$; эллиптическая $>\pi$.
- Площадь треугольника выражается через угловую дефецит/избыток (см. формулы выше).
- Пифагорово соотношение: в евклидовой форме действует; в неевклидовых — заменяется соответствующими законами косинусов (с гиперболической/сферической тригонометрией).
- Подобие: в Евклиде возможны подобные, не конгруэнтные треугольники; в постояннокривых неевклидовых геометриях подобие треугольников фактически означает конгруэнтность.
- Параллели/прямоугольники: Евклид — ровно одна параллель; гипербола — множество параллелей (и нет прямоугольников с 4 правыми углами); эллиптика — ни одной параллели (возможны «четырёхугольники» с угловой суммой больше евклидовой).
- Конгруэнция (SSS, SAS, ASA): критерии в основном сохраняются, но расчёты длин/углов зависят от кривизны.
Вывод: изменение пятого постулата (аксиомы параллельности) породило две принципиально разные «геометрии» (гиперболическую и эллиптическую), где многие классические евклидовы теоремы остаются в модифицированном виде (изменяются формулы и некоторые возможности, напр. подобие и существование параллелей/прямоугольников), а также привело к общей римановой теории кривизны, расширившей понятие геометрии как науки о метрике и кривизне пространства.