Кратко — подход и ключевые формулы, шаги анализа и рекомендации по геометрической оптимизации формы каркасного многогранника с дуговыми рёбрами.
1) Геометрика дуги и базовые величины
- длина дуги: $L=R\theta$, где $R$ — радиус, $\theta$ — центральный угол (радианы).
- кривизна: $\kappa =\frac{1}{R}$.
- хорда дуги: $c=2R\sin \frac{\theta }{2}$.
При изменении угла между смежными дугами $\varphi$ меняются $\theta$ отдельных сегментов и их взаимное расположение (хорды, опорные расстояния).
2) Жёстности и энергии (приближённая модель по элементам)
Для одного сегмента (однородный балочный/дуговой элемент, линейная упругость):
- осевая жёсткость: $k_a=\frac{EA}{L}$.
- изгибная «характерная» жёсткость (приближенно): $k_b\sim \frac{EI}{L}$.
- энергия растяжения: $U_{ax}=\frac{N^{2}L}{2EA}$ (если N — осевая сила, считаем её близкой к статической).
- энергия изгиба (приближённо при постоянном изгибающем моменте $M$): $U_{bend}=\frac{M^{2}L}{2EI}$.
Итоговая потенциальная энергия суммируется по элементам: $U=\sum _e\left(\frac{N_e^2{L}_e}{2EA}+\frac{M_e^2{L}_e}{2EI}+\dots \right)$.
3) Как угол между дугами влияет на усилия и деформации (интуитивно и математически)
- При увеличении угла $\varphi$ в узле смежные дуги выравниваются — нагрузка переходит в большую долю осевых усилий (снижается изгибовой момент), т.е. конструкция «работает» более осево, деформации при том же продольном модуле уменьшаются.
- При уменьшении $\varphi$ (острый угол) растут изгибающие моменты в элементах у узла: больше местных изгибов и локальных деформаций, повышается риск пластики/усталости.
- Для малого изменения $\delta \varphi$ можно оценить изменение длины дуги и хорды: $\frac{\partial L}{\partial \theta }=R,\frac{\partial c}{\partial \theta }=R\cos \frac{\theta }{2}$. Через цепное правило изменения $L,c$ переводятся в изменения $k_a,k_b$ и в изменения внутренней работы/энергии.
- В линейной модели статического равновесия (система $\mathbf{K}(\varphi )\mathbf{u}=\mathbf{f}$) изменение деформаций/усилий при малом изменении угла оценивается чувствительностью жёсткости:
$\frac{dC}{d\varphi }=-{\mathbf{u}}^{\top }\frac{\partial \mathbf{K}}{\partial \varphi }\mathbf{u}$,
где $C={\mathbf{u}}^{\top }\mathbf{f}$ — комплаенс (работа внешних сил).
4) Чувствительности и оптимизация по геометрии
- Параметризация: задайте параметры $\mathbf{\alpha }$ как набор углов ${\varphi }_i$ в узлах или как координаты узлов (алгоритмически проще и универсальнее).
- Целевая функция (варианты): минимизация комплаенса $C$, минимизация максимального нормального/изгибающего напряжения, минимизация суммарной энергии $U$, минимизация массы при ограничениях по прочности/устойчивости.
- Градиентные выражения (adjoint-подход): для цели $J(\mathbf{\alpha })=C$ выполняется аналитическая формула производной через $\partial \mathbf{K}/\partial \alpha$:
$\frac{\partial J}{\partial \alpha }=-{\mathbf{u}}^{\top }\frac{\partial \mathbf{K}}{\partial \alpha }\mathbf{u}.$
Это позволяет эффективно получать чувствительности по углам и обновлять параметры методом градиентного спуска или SQP.
- Альтернативы: динамическая релаксация (form-finding), генетические/эволюционные алгоритмы для негладких целевых функций.
5) Практические рекомендации по оптимальной форме и ограничениям
- Стремитесь к распределению нагрузок в преимущественно осевом режиме: увеличивайте углы между дугами (ближе к плоскости) в областях, где нужно снизить изгибовые моменты.
- Учитывайте локальные концентрации кривизны: уменьшайте резкие изменения кривизны (сглаживание $\kappa (s)$), это снижает локальные изгибающие моменты и риск усталости.
- Контролируйте устойчивость: проверяйте собственные формы и критическое напряжение с учётом сжатия дуговых элементов. Включайте в оптимизацию ограничения на минимальный критический коэффициент запаса по потере устойчивости.
- Учитывайте реальные шарниры/жёсткость узлов: идеализация шарниров сильно меняет распределение моментов при изменении углов.
6) Алгоритм анализа/оптимизации (шаги)
1. Постройте параметрическую геометрию: узлы + дуги (параметры ${\varphi }_i$ или координаты).
2. Соберите элементную модель для дуговых балочных элементов (жёсткость с учётом кривизны).
3. Для заданных нагрузок решите $\mathbf{K}(\mathbf{\alpha })\mathbf{u}=\mathbf{f}$, вычислите целевую функцию $J$ (комплаенс/энергия/макс напр.).
4. Вычислите градиенты $\partial J/\partial \alpha$ (адъюнт/аналитика через $\partial \mathbf{K}/\partial \alpha$).
5. Выполните обновление параметров (градиентный метод/SQP), контролируя ограничения (прочность, устойчивость, геометрические ограничения).
6. Повторяйте до сходимости; проверяйте нелинейную (геометрическую) статическую проверку и анализ устойчивости конечной формы.
7) Дополнительные замечания и упрощённые оценки
- Для грубой быстрой оценки можно использовать скалярную меру распределения изгибов: $\Phi =\sum _e{\kappa }_e^2{L}_e$ и минимизировать $\Phi$ при ограничениях на длину/габариты — это снижает локальный изгиб.
- При больших деформациях требуется нелинейная геометрия: используйте обновляемую матрицу жёсткости и итеративное решение (Newton-Raphson).
- Для купольных решёток полезны методы reciprocal diagrams / thrust line (для сжатия) и force-density method (адаптация для дуговых рёбер) при form-finding.
Если нужно, могу: (а) привести явную форму матрицы жёсткости для сегмента дуги в локальной системе; (б) показать пример численной оптимизации одного узла/сектора с формулами чувствительности; (в) предложить конкретную постановку оптимизации (функция цели, переменные, ограничения).