Обозначим проекции точек на плоскость $z=0$ через $A^{\prime }(x_1,y_1),B^{\prime }(x_2,y_2),C^{\prime }(x_3,y_3)$.
Критерий (эквивалентные формулировки):
1) Проекция треугольника равносторонна тогда и только тогда, когда попарные расстояния равны:
$$(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2=(x_2-x_3{)}^2+(y_2-y_3{)}^2=(x_3-x_1{)}^2+(y_3-y_1{)}^2.$$
2) Векторная формулировка. Пусть $\mathbf{u}=B^{\prime }-A^{\prime }=(u_x,u_y),\mathbf{v}=C^{\prime }-A^{\prime }=(v_x,v_y)$. Необходимые и достаточные условия:
$$\Vert \mathbf{u}\Vert =\Vert \mathbf{v}\Vert \text{и}\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2.$$ Доказательство: второе равенство эквивалентно $\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2$, т.е. третья сторона равна первой; из скалярного произведения получаем косинус угла $\cos \theta =\frac{1}{2}$, значит угол между ребрами при $A^{\prime }$ равен $60^{\circ }$.
3) Поворотная формулировка. Эквивалентно существованию знака $\pm$ такого, что
$$\left(\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \mp \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \pm \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right),$$ т.е. вектор $\mathbf{v}$ получается поворотом вектора $\mathbf{u}$ на $\pm 60^{\circ }$ (и при этом модуль сохраняется).
Ограничения на координаты:
- Проекции должны быть попарно различны: $(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2>0$ для всех $i\ne j$.
- Проекции не должны быть коллинеарны (иначе равносторонний треугольник невозможен); эквивалентно невыполнение условия вырождения площади:
$$(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\ne 0.$$ - Координаты $z_1,z_2,z_3$ не влияют на равносторонность проекции (могут быть любыми) — единственное требование, что при заданных $x_i,y_i$ приведённые выше условия выполнены.
Коротко: проверяйте равенство попарных квадратов расстояний между $(x_i,y_i)$ или эквивалентно равенство модулей двух базисных векторов и условие $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2$.