Кратко: общие версии теорем Менелая и Чевы удобнее формулировать в двух вариантах — для плоского n‑угольника (через пересечения с одной прямой и через совпадение лучей) и в более общей форме для n‑симплекса (пространственный вариант, через ориентированные объёмы). Ниже — формулировки, доказательства (кратко) и замечания об ограничениях и примеры.
1) Обобщённый Менелай для n‑угольника (плоский)
Формулировка.
Пусть вершины выпуклого (или произвольного, с ориентированными отрезками) n‑угольника с циклическими индексами $A_1,\dots ,A_n$. Пусть прямая $\ell$ пересекает продолжения (или стороны) отрезков $A_i{A}_{i+1}$ в точках $X_i$ (индексы по модулю $n$). Тогда (с учётом ориентированных отношений) выполняется:
$$\prod _{i=1}^n\frac{X_i{A}_i}{X_i{A}_{i+1}}=(-1{)}^n.$$
Доказательство (схема).
Разбейте n‑угольник на треугольники, например, триангуляцией от вершины $A_1$: треугольники $(A_1{A}_2{A}_3),(A_1{A}_3{A}_4),\dots ,(A_1{A}_{n-1}{A}_n)$. Прямая $\ell$ пересекает стороны каждого такого треугольника в соответствующих точках; для каждого треугольника применима классическая Менелая:
$$\frac{X_i{A}_i}{X_i{A}_{i+1}}\cdot \frac{Y??}{??}\cdot \frac{??}{??}=-1,$$ (в каждой формуле множители образуют цепочку отношений). Перемножая равенства по всем треугольникам, многие отношения сократятся (внутренние ребра триангуляции дают взаимно обращённые множители), и остаётся именно
$$\prod _{i=1}^n\frac{X_i{A}_i}{X_i{A}_{i+1}}=(-1{)}^n.$$ (Технически: это стандартный приём «телескопирования» отношений Менелая по триангуляции.)
2) Обобщённая Чева для n‑угольника (плоский, дуальная формулировка)
Формулировка (дуальная к Менелаю).
Пусть в том же n‑угольнике на сторонах $A_i{A}_{i+1}$ выбраны точки $X_i$. Рассмотрим n прямых $g_i$ так, что прямая $g_i$ проходит через вершину $A_i$ и через точку $X_{i-1}$ (индексы по модулю $n$). Тогда прямые $g_i$ конкурентны (пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда выполняется
$$\prod _{i=1}^n\frac{X_i{A}_i}{X_i{A}_{i+1}}=(-1{)}^{n+1}.$$
Краткое объяснение (дуальность).
Это утверждение получается из предыдущего применением проективной дуальности (точки↔прямые). Менелай — условие коллинеарности точек, Чева — условие конкурентности прямых; при дуальности знак степени меняется так, чтобы для $n=3$ условие совпадало с классической Чевой: $\prod \frac{AF}{FB}=1$.
3) Обобщение в пространстве: Ceva и Menelaus для n‑симплекса
Нотация: пусть $S$ — ориентированный n‑симплекс с вершинами $V_0,\dots ,V_n$. Обозначим через $[P_0{P}_1\cdots P_n]$ ориентированный n‑объём (нормированная ориентированная мера простекса).
Ceva в n‑пространстве.
Для каждого $i$ возьмём точку $P_i$ на грань, противоположную вершине $V_i$ (т.е. в аффинной оболочке граней без $V_i$). Лучи (или прямые) $V_i{P}_i$ одновременно пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение (в терминах ориентированных объёмов)
$$\prod _{i=0}^n\frac{[V_0\cdots V_{i-1}{P}_i{V}_{i+1}\cdots V_n]}{[V_0\cdots V_{i-1}{V}_i{V}_{i+1}\cdots V_n]}=1.$$ (Здесь каждое отношение — отношение соответствующих ориентированных n‑объёмов: объём симплекса, получающегося заменой вершины $V_i$ на $P_i$, к объёму исходного простекса.)
Menelaus в n‑пространстве.
Пусть гиперплоскость $\Pi$ пересекает (в обобщённом смысле) рёбра/линии, соединяющие вершины так, что на каждом отрезке $V_i{V}_j$ появляется точка пересечения $X_{ij}$ (конкретная конфигурация зависит от того, какие рёбра пересекает гиперплоскость). Тогда при соответствующей нотации произведение ориентированных отношений длин/объёмов вдоль цикла равно $(-1{)}^{n+1}$. Конкретная формула строится аналогично треугольному случаю, но с объёмными коэффициентами; для гиперплоскости, пересекающей все рёбра, стандартная формула:
$$\prod _{\text{по циклу ребер}}\frac{\text{соответствующий ориентир. отрезок}}{\text{след. ориентир. отрезок}}=(-1{)}^{n+1}.$$
Доказательство (схема для n‑симплекса).
Доказательства используют ориентированные объёмы (или барицентрические/афинные координаты) и делаются по индукции по размерности: уменьшая размерность срезом и применяя треугольные (плоские) версии Менелая/Чевы, либо прямым вычислением барицентрических коэффициентов: concurrency эквивалентна существованию ненулевых коэффициентов ${\alpha }_i$ таких, что $\sum {\alpha }_i{V}_i=0$, а соотношения объёмов выражают эти ${\alpha }_i$ и дают требуемое произведение.
4) Ограничения применимости и замечания
- Всегда используются ориентированные отношения (длины/объёмы со знаком), иначе равенства не работают при пересечениях на продолжениях и для невыпуклых фигур.
- Нельзя подставлять точки, совпадающие с вершинами или приводящие к вырождению (нулевой объём) без учёта предельного поведения.
- В плоском обобщении для n‑угольника следует чётко указать, какие продолжения сторон учитываются; формулы остаются верными при произвольных пересечениях, если брать направленные отношения.
- Проективная дуальность (точка↔прямая) переводит Менелая в Чеву; поэтому обе теоремы — частные случаи одного проектного утверждения.
- В высших измерениях нужно требовать, чтобы соответствующие сечения/гиперплоскости не проходили через вершины (иначе объёмы равны нулю).
5) Примеры
a) Треугольник (классика). Для $A,B,C$ и точек $D\in BC,E\in CA,F\in AB$:
- Менелай (коллинеарность точек на прямой): $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=-1.$ - Чева (конкуренция прямых $AD,BE,CF$): $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$
b) Четырёхугольник (n=4), прямое применение Менелая. Пусть $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ и прямая $\ell$ пересекает $A_i{A}_{i+1}$ в $X_i$. Тогда
$$\frac{X_1{A}_1}{X_1{A}_2}\cdot \frac{X_2{A}_2}{X_2{A}_3}\cdot \frac{X_3{A}_3}{X_3{A}_4}\cdot \frac{X_4{A}_4}{X_4{A}_1}=(-1{)}^4=1.$$ Это можно проверить на конкретной координатной модели: возьмите четыре точки на конвексном четырехугольнике, задайте уравнение прямой и вычислите отношения — получится 1 (с учётом знаков).
c) 3‑пространство (тетраэдр): пусть тетраэдр $V_0{V}_1{V}_2{V}_3$, на гранях против $V_i$ взяты точки $P_i$. Тогда лучи $V_i{P}_i$ конкурентны ⇔
$$\frac{[P_0{V}_1{V}_2{V}_3]}{[V_0{V}_1{V}_2{V}_3]}\cdot \frac{[V_0{P}_1{V}_2{V}_3]}{[V_0{V}_1{V}_2{V}_3]}\cdot \frac{[V_0{V}_1{P}_2{V}_3]}{[V_0{V}_1{V}_2{V}_3]}\cdot \frac{[V_0{V}_1{V}_2{P}_3]}{[V_0{V}_1{V}_2{V}_3]}=1.$$
Заключение: обе теоремы имеют естественные обобщения через аффинные/проективные методы и ориентированные объёмы; для плоских n‑угольников Менелай даёт произведение с фактором $(-1{)}^n$, а Чева — дуальное утверждение с фактором $(-1{)}^{n+1}$. В пространстве аналоги выражаются через ориентированные объёмы (барицентрические коэффициенты); важны требования невырожденности и корректного учёта знаков.