Пусть задан отрезок $AB$, точка $P$ вне него, и задан угол $\alpha \in [0,\pi ]$. Требуется найти точки $X\in AB$ такие, что $\angle APX=\alpha$. Короткая конструкция и полная классификация случаев.
Конструкция (общая и практически универсальная)
- Рассмотрите лучи из $P$, получающиеся поворотом луча $PA$ на углы $+\alpha$ и $-\alpha$. Обозначим их направления единичными векторами $u_1,u_2$.
- Пересечения этих лучей с прямой $AB$ дают все возможные решения; среди пересечений остаются только точки, лежащие именно на отрезке $AB$.
Аналитическая проверка пересечения
- Параметризация: точка на отрезке $AB$ имеет вид $X=A+t(B-A)$, $t\in [0,1]$. Точка на луче из $P$ в направлении $u$ имеет вид $X=P+su$, $s\ge 0$.
- Решение пересечения даёт система $A+t(B-A)=P+su$. В 2D из векторного произведения получаем
$$t=\frac{(P-A)\times u}{(B-A)\times u}.$$ Пересечение существуют и даёт решение на отрезке тогда и только тогда, когда $t\in [0,1]$ и соответствующий $s\ge 0$. (Если $(B-A)\times u=0$, направления параллельны — см. вырождения.)
Классификация результатов
1. Общий случай ( $P$ не лежит на прямой $AB$, $\alpha \ne 0,\pi$ ):
- Лучи $u_1,u_2$ различны. Каждый из них пересекает прямую $AB$ в некоторой точке (если не параллелен). Возможны 0, 1 или 2 решений на отрезке:
- Два решения: оба луча пересекают прямую $AB$ внутри отрезка ($t\in (0,1)$ для обоих).
- Одно решение: только один из лучей даёт точку на отрезке; второй пересекает прямую вне отрезка или пересечение на обратном (отрицательном) луче ($s<0$).
- Ноль решений: оба луча пересекают прямую вне отрезка либо оба дают $s<0$.
2. Случай параллельности (для некоторого луча $u$ $(B-A)\times u=0$):
- Если $(P-A)\times u\ne 0$ — луч параллелен прямой $AB$ и не пересекает её: для этого луча пересечения нет.
- Если $(P-A)\times u=0$ — луч коллинеарен прямой $AB$. Тогда либо весь луч лежит на той же прямой:
- Если у пересечения есть точки с $s\ge 0$ и соответствующие $t\in [0,1]$, то либо конечное множество (обычно одно значение $t$) либо бесконечное множество (вся подчасть отрезка) — см. вырождения ниже.
3. Вырожденные углы $\alpha =0$ и $\alpha =\pi$:
- $\alpha =0$: требуется, чтобы $PX$ был коллинеарен с $PA$ в том же направлении. Если $P$ не на прямой $AB$ — возможны 0 или 1 решение (пересечение луча $PA$ с отрезком). Если $P$ лежит на прямой $AB$:
- Если весь отрезок $AB$ лежит на луче из $P$ в сторону $A$ (то есть все $X\in AB$ дают направление $PX$ совпадающее с $PA$), тогда все $X\in AB$ — решения (бесконечно много).
- Иначе решения нет или одно (если только один из концов совпадает с лучом).
- $\alpha =\pi$: аналогично, но направление противоположно $PA$.
4. Случай $P$ лежит на прямой $AB$ (но вне отрезка $AB$):
- Для $\alpha \notin \{0,\pi \}$ решений нет: любые $PX$ и $PA$ коллинеарны, угол только $0$ или $\pi$.
- Для $\alpha =0$ или $\pi$ возможны решения как в пункте 3 (вплоть до всех точек отрезка).
5. Концы отрезка как возможные решения:
- $X=A$ всегда даёт $\angle APX=0$. Значит при $\alpha =0$ точка $A$ — тривиальное решение.
- $X=B$ даёт $\angle APB$; если $\alpha =\angle APB$, то $B$ — решение.
Краткое практическое резюме
- Построение: повернуть луч $PA$ в обе стороны на $\alpha$; пересечения с прямой $AB$ отфильтровать по условию $X\in AB$.
- Возможные количества решений: 0, 1, 2 или (в вырожденном коллинеарном случае) бесконечно много (все точки подотрезка).
- Вырождения возникают при $\alpha \in \{0,\pi \}$ и/или при коллинеарности $P$ и прямой $AB$ (т.е. когда направление повёрнутого луча параллельно $AB$).