Пусть заданы две непересекающиеся окружности с центрами $A=(x_1,y_1)$, $B=(x_2,y_2)$ и радиусами $R_1,R_2>0$. Обозначим переменную окружность центром $X=(x,y)$ и радиусом $r$. Для каждого выбора типов касания (внешнее/внутреннее) вводим знаки ${\sigma }_1,{\sigma }_2\in \{+1,-1\}$ так, что для центров выполняются равенства
$$\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}=r+{\sigma }_1{R}_1,\sqrt{(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2}=r+{\sigma }_2{R}_2.$$ Вычитая второе из первого, устраняем $r$ и получаем основное уравнение геометрического места центров для данного набора знаков:
$$\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}-\sqrt{(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2}=k,k={\sigma }_1{R}_1-{\sigma }_2{R}_2.$$ Итого существует до четырёх значений константы $k$, а именно $k\in \{\pm R_1\pm R_2\}$. Это уравнение задаёт ветвь гиперболы с фокусами $A$ и $B$ (для $k\ne 0$), или вырождается в прямую при $k=0$.
Канонический вид. Перенесём систему в координаты, где середина $AB$ — начало, а отрезок $AB$ лежит на оси $x$. Пусть $d=|AB|,c=\frac{d}{2}$. Тогда фокусы в точках $(\pm c,0)$ и положим $k$ как выше; положим $a=\frac{|k|}{2}$, $b=\sqrt{c^2-a^2}$. При $0<|k|<d$ геометрическое место — гипербола
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a=\frac{|k|}{2},c=\frac{d}{2},b^2=c^2-a^2.$$ Специальные случаи:
- $k=0$ (например ${\sigma }_1{R}_1={\sigma }_2{R}_2$) даёт вырожденную гиперболу — прямая, медиана между центрами: в канонических координатах $x=0$ (перпендикулярный биссектор отрезка $AB$).
- $|k|=d$ даёт предельный случай (ветви стремятся к лучам вдоль прямой $AB$).
- $|k|>d$ реальных точек нет (соответствующая ветвь отсутствует).
Явное алгебраическое уравнение в исходных координатах (после устранения корней, эквивалентно предыдущему при $k\ne 0$) можно записать в виде
$$4k^2((x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2)=((x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2-(x-x_2{)}^2-(y-y_2{)}^2-k^2{)}^2,$$ что при выполнении условия $|k|<d$ сводится (после сокращения общих множителей) к уравнению невырожденной гиперболы, эквивалентной канонической форме, указанной выше.
Вывод: для каждой комбинации касаний (знаки ${\sigma }_1,{\sigma }_2$) геометрическое место центров равно множеству точек, удовлетворяющих
$$\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}-\sqrt{(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2}={\sigma }_1{R}_1-{\sigma }_2{R}_2,$$ что даёт либо ветвь гиперболы с фокусами $A,B$ (при непустой ветви), либо вырожденный случай (перпендикулярный биссектор при нулевой правой части).