Дано: база $BC$ длины $b$, угол при вершине $A$ равен $\alpha$, высота из $A$ на $BC$ равна $h$. Требуется построить треугольник $ABC$ циркулем и линейкой и указать условия разрешимости.
Краткая идея. Множество точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$, — это две дуги окружности через $B$ и $C$ (центры лежат на средней перпендикуляре к $BC$). Точки, удалённые от прямой $BC$ на расстояние $h$, лежат на двух прямых, параллельных $BC$. Пересечение этих дуг с параллелями даёт искомые положения $A$.
Алгоритм построения:
1. Проведите отрезок $BC$ длины $b$. Обозначьте его середину $M$ и проведите среднюю перпендикуляр к $BC$.
2. Обозначьте $\alpha =\angle A$. Постройте длину
$$R=\frac{b}{2\sin \alpha }.$$ (Это делается с помощью подобия: из данного угла $\alpha$ можно построить отрезок, равный $\sin \alpha$ при выбранном эталонном отрезке, затем масштабировать.)
3. На средней перпендикуляре от $M$ отложите в обе стороны расстояние
$$OM=\sqrt{R^2-(\frac{b}{2}{)}^2}=R\cos \alpha ,$$ получив два возможных центра $O_1,O_2$.
4. Постройте две окружности радиуса $R$ с центрами $O_1$ и $O_2$. Каждая проходит через $B$ и $C$; все её точки видят $BC$ под углом $\alpha$.
5. Проведите две прямые, параллельные $BC$, на расстоянии $h$ от $BC$ (по разным сторонам от $BC$). Это — возможные позиции вершины $A$ (так как $AH=h$).
6. Пересечения построенных окружностей с этими параллелями дают возможные точки $A$. Для каждой найденной точки $A$ проведите перпендикуляр к $BC$ для отметки основания высоты и соедините $A$ с $B$ и $C$.
Число решений:
- Если пересечений нет — задача неразрешима.
- Если пересечение ровно одно (две окружности и две параллели дают в сумме одну точку) — единственный треугольник (случай границы).
- Как правило, при $b$ достаточно большом получаются два несопряжённых решения (симметричные по отношению к середине $M$ в смысле разложения базы на $BH$ и $CH$).
Условие разрешимости (необходимое и достаточное). Пусть угол $\angle BAH=\beta$, тогда
$$b=h(\cot \beta +\cot (\alpha -\beta )).$$ Правая часть при фиксированном $\alpha$ минимальна при $\beta =\alpha /2$, поэтому минимально возможное $b$ равно
$$b_{\min }=2h\cot \frac{\alpha }{2}.$$ Следовательно, треугольник с данными $b,\alpha ,h$ существует тогда и только тогда, когда
$$b\ge 2h\cot \frac{\alpha }{2}.$$ При равенстве $b=2h\cot \frac{\alpha }{2}$ существует единственный (равнобедренный относительно высоты) треугольник; при строгом неравенстве $b>2h\cot \frac{\alpha }{2}$ существуют два несочетаемых решения; при $b<2h\cot \frac{\alpha }{2}$ — решений нет.
Замечания: угол $\alpha$ должен быть в $0<\alpha <\pi$; при $\alpha$ очень малых значениях правая граница велика (надо большой $b$).