Кратко — определения, критерии и отличия.
1) Термины и базовые факты.
- Геодезические на сфере $S^2$ — короткие дуги больших кругов (при условии, что точки не антиподальны). Сферический треугольник с вершинами $A,B,C$ — область на сфере, ограниченная тремя короткими дугами $AB,BC,CA$.
- Сферическая выпуклость: множество $X\subset S^2$ сферически выпукло, если вместе с любыми двумя своими точками содержит короткую дугу большого круга между ними; эквивалентно — пересечение семейств замкнутых полупространств (полусфер), которые его содержат.
2) Что понимать под «сферическим тетраэдром» из четырёх точек $p_1,p_2,p_3,p_4$.
- Под этим обычно понимают, что короткие дуги между всеми парами вершин (всего 6 дуг) являются рёбрами, и эти рёбра делят сферу на четыре сферических треугольника (по графу тетраэдра: $V=4,E=6,F=4$). Такое расположение получается тогда, когда ни одна вершина не лежит внутри сферического треугольника, образованного тремя другими вершинами, и нет вырожденностей (антиподы, три точки на одном большом круге).
3) Необходимое и достаточное условие (геометрическое).
- Точки $p_1,\dots ,p_4$ дают выпуклый сферический «тетраэдр» тогда и только тогда, когда соблюдаются:
a) нет антиподальных пар и нет трёх вершин на одном большом круге (чтобы короткие дуги были единственны и не было вырождений);
b) для каждого $i$ вершина $p_i$ не принадлежит сферическому треугольнику $△(p_j,p_k,p_{\ell })$ остальных трёх (т.е. ни одна вершина не лежит в сферической выпуклой оболочке трёх других).
- Эквивалентная «полусферная» формулировка: для каждого $i$ существуют замкнутые полусферы $H$ такие, что $p_j,p_k,p_{\ell }\in H$ и $p_i\notin H$. Иначе сказано, ни одна точка не лежит в пересечении всех полусфер, содержащих трёх других.
4) Алгебраический критерий (удобно в координатах).
- Представим точки как единичные векторы $x_1,x_2,x_3,x_4\in {\mathbb{R}}^3$. Пусть для тройки $(i,j,k)$ ориентированная объёмная детерминанта $\det (x_i,x_j,x_k)$ отлична от нуля (нет вырождения). Тогда $x_{\ell }$ лежит внутри сферического треугольника $△(x_i,x_j,x_k)$ тогда и только тогда, когда три числа
$$\det (x_i,x_j,x_{\ell }),\det (x_j,x_k,x_{\ell }),\det (x_k,x_i,x_{\ell })$$ имеют один и тот же знак (и тот же знак, что и $\det (x_i,x_j,x_k)$). Следовательно, чтобы образовался сферический тетраэдр, для каждой четверки индексов соответствующие три детерминанты должны иметь знак противоположный виду «внутри»: в итоге ни для какой вершины эти три детерминанта не все одного знака.
5) Отличия от евклидовых понятий.
- Короткие дуги большого круга — аналоги отрезков, но уникальность нарушается при антиподальных точках; длина геодезии ограничена $\pi$.
- Сферический треугольник: сумма углов строго больше $\pi$. По формуле Жирара:
$$\text{площадь}(△ABC)=\alpha +\beta +\gamma -\pi ,$$ где $\alpha ,\beta ,\gamma$ — углы треугольника; на единичной сфере площадь равна угловому избытку.
- Сферическая выпуклость = пересечение полусфер (в евклидовой плоскости — пересечение полупространств). Важное отличие: полусфера и её дополнение оба являются выпуклыми; также множество точек может иметь две «выпуклые оболочки» взаимно дополненные (когда множество занимает «большую» сторону большого круга).
- В евклидовой геометрии «четыре вершины тетраэдра» — 3D-объект; на сфере подобную структуру задаёт планарная триангуляция с тем же графом, но геометрия и критерии зависят от глобальной круглости (например, расположение в одной полусфере критично).
- Наличие «великого круга» длины $\pi$ и возможности дуг длины $>\pi$ порождает неоднозначности: при выборе «короткой» или «длинной» дуги меняется, какие треугольники считаются гранями; поэтому условие «короткие дуги» и отсутствие антиподов обязательно.
6) Итог для практики.
- Проверка: взять единичные векторы $x_i$. Убедиться, что для всех трёхкомбинаций $\det (x_i,x_j,x_k)\ne 0$. Для каждой вершины $x_{\ell }$ вычислить три детерминанты $\det (x_i,x_j,x_{\ell })$ (с тройками, образующими треугольник других) — если ни для одной вершины все три имеют знак, совпадающий с ориентацией треугольника остальных, то получаем искомый сферический тетраэдр. Иначе какая‑то вершина лежит внутри треугольника других — нет тетраэдра.
Конец.