Выберем два конкретных утверждения:
1) Теорема о касательной и хорде (tangent–chord): угол между касательной в точке $A$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, т.е. равен углу $ACB$ для любой точки $C$ на дуге $AB$.
2) Теорема о произведении отрезков (power of a point): если из точки $P$ вне окружности проведены секущая, пересекающая окружность в $A,B$, и касательная $PT$, то $PA\cdot PB=P{T}^2$ (аналогично для двух пересекающихся хорд внутри окружности: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$).
Для каждого утверждения кратко три метода: синтетический, аналитический в координатах, комплексный — с сильными и слабыми сторонами.
1) Угол между касательной и хордой
- Синтетический (классический):
- Идея: использовать теорему о вписанных углах — и тот и другой угол "опираются" на одну и ту же дугу $AB$, поэтому равны. Формально часто доказывают отрезком радиуса и применением свойств вписанных и центральных углов.
- Ключевые шаги: свойства вписанных углов, радиус перпендикулярен касательной.
- Преимущества: простота, геометрическая наглядность, минимальные вычисления; легко обобщается на другие конструкции.
- Ограничения: требует умения визуализировать и выбирать вспомогательные построения; менее формализуем в вычислительных доказательствах.
- Аналитический (координаты):
- Идея: положить центр в начало и окружность $x^2+y^2=R^2$. Для точки $A(x_0,y_0)$ уравнение касательной: $x_{0}x+y_{0}y=R^2$. Найти наклон касательной и наклон хорды $AB$ (для $B(x_1,y_1)$) и напрямую проверить равенство соответствующих углов (через арктангенсы или формулу для тангенса разности углов).
- Формула (пример): наклон касательной в $A$ равен $-x_0/y_0$, наклон хорды $AB$ — $(y_1-y_0)/(x_1-x_0)$; затем сравнивают углы через $\arctan$.
- Преимущества: алгоритмичность, однозначность, подходит для проверяемых вычислений и для реализации в CAS; хорош для случаев без очевидной геометрической интуиции.
- Ограничения: громоздкие алгебраические вычисления, теряются наглядность и геометрический смысл; требует выбора удобной системы координат.
- Комплексный:
- Идея: положить окружность за единичную в комплексной плоскости ($|z|=1$). Угол задаётся аргументом отношения разностей комплексных чисел; для точки $a$ на окружности касательная связана с условием $\overline{a}z+a\overline{z}=2$ или использовать тот факт, что сопряжение на окружности эквивалентно обратному.
- Суть: аргумент отношения $\arg \frac{b-a}{c-a}$ даёт угол $BAC$, а аргументы с учётом сопряжений сразу показывают равенство с углом между касательной и хордой.
- Преимущества: компактность алгебраических выкладок, удобство работы с аргументами (углами) и модулем; хорошо для доказательств, где важны поворот/масштаб; легко обобщается на преобразования Мёбиуса.
- Ограничения: требует знакомства с комплексной геометрией; иногда формулировки менее интуитивны для геометра; надо выбирать удобную модель окружности (обычно единичную).
2) Power of a point: $PA\cdot PB=P{T}^2$
- Синтетический:
- Идея: строят касательную и секущую, применяют теорему о касательной и хорде, получают пару равных углов и, следовательно, подобие треугольников, из которого следует равенство произведений отрезков.
- Ключевое соотношение выходит из подобия: из $△PTA\sim △APB$ получаем $PA\cdot PB=P{T}^2$.
- Преимущества: короткое доказательство, геометрическая ясность, легко запомнить и использовать в задачах.
- Ограничения: требует правильного подбора треугольников для подобия; менее пригодно для вычислений координат.
- Аналитический:
- Идея: выбрать систему координат так, чтобы упростить выкладки (например, центр окружности в начале, точка $P$ на оси $x$ в $(p,0)$). Пусть окружность $x^2+y^2=R^2$; прямая через $P$ задаётся $y=m(x-p)$. Подстановка даёт квадратное уравнение для $x$ с корнями $x_A,x_B$. Произведение корней даётся свободным членом делённым на старший коэффициент, что даёт
$$x_A{x}_B=p^2-R^2.$$ Отсюда по выражению расстояний получаем
$$PA\cdot PB=|p^2-R^2|=P{T}^2.$$ - Преимущества: строгая алгебра, легко автоматизируется; удобно для вычисления численных значений и для работы со случайными положениями точки.
- Ограничения: потребны аккуратные алгебраические выкладки; требует выбора удобной системы координат; иногда громоздко.
- Комплексный / через инверсию:
- Идея 1 (комплексный на единичной окружности): для точки $p$ (вне единичной окружности) и точек пересечения $z_1,z_2$ окружности с секущей справедливо
$$|p-z_1|\cdot |p-z_2|=||p{|}^2-1|.$$ Длина касательной равна $\sqrt{|p{|}^2-1}$, откуда следует требуемое равенство.
- Идея 2 (инверсия): инверсия с центром $P$ переводит окружность в саму себя (или в прямую), секущая в отрезок диаметра инверсии и касательную в точку на окружности; геометрия инверсии даёт произведение отрезков равным квадрату радиуса инверсии, что даёт итог.
- Преимущества: очень компактные алгебраические формулы (через модули и аргументы), инверсия даёт быстрые и элегантные выводы в общем виде; мощно при обобщениях (две окружности, преобразования Мёбиуса).
- Ограничения: требует знания свойств инверсии или работы с комплексными сопряжениями; для новичка менее очевидно, нужно аккуратно выбирать нормировку (обычно единичная окружность).
Короткое сравнение преимуществ/ограничений методов в общем:
- Синтетический: интуитивен, короткие доказательства для «чистых» геометрических утверждений; ограничен, когда нужен расчет или общая алгебраическая проверка.
- Координатный (аналитический): универсален и алгоритмичен, хорош для вычислений и проверки крайних случаев; часто громоздок, теряет геометрическую наглядность.
- Комплексный/инверсионный: очень эффективен для окружностей, поворотов и проективных/мёбиусовых преобразований; компактные формулы, хорош для обобщений; требует более высокого уровня алгебраической подготовки и выбора нормировки.
Вывод: для указанных теорем синтетические доказательства дают наглядность и краткость; координатный подход полезен для проверки и численных задач; комплексный/инверсный — наиболее элегантен для общих и алгебраических обобщений (особенно при работе с множеством окружностей или при трансформациях).