Обозначим основание квадрата $ABCD$ с центром $O$ и вершину пирамиды $S$. Поставим координаты удобно: $O=(0,0,0)$, $A=(a,a,0)$, $B=(a,-a,0)$, $C=(-a,-a,0)$, $D=(-a,a,0)$, $S=(0,0,h)$ (правильная пирамда: ось $SO$ перпендикулярна плоскости основания).
Рассмотрим средние точки боковых рёбер (они же середины отрезков $SA,SB,SC,SD$):
$$M_1=\frac{S+A}{2}=(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{h}{2}),M_2=(\frac{a}{2},-\frac{a}{2},\frac{h}{2}),M_3=(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2},\frac{h}{2}),M_4=(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{h}{2}).$$
1) Эти четырe точки лежат в одной плоскости $z=\frac{h}{2}$ (координата $z$ одинаковая), следовательно сечение плоскостью, проходящей через них, есть плоский четырёхугольник $M_1{M}_2{M}_3{M}_4$.
2) Вычислим сторону: например
$$M_1{M}_2=\sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}{)}^2+0^2}=\sqrt{(0{)}^2+(a{)}^2}=a.$$ А сторона основания $AB$ равна $2a$. Следовательно
$$M_1{M}_2=\frac{1}{2}AB.$$ Аналогично для других сторон. Углы между соседними сторонами равны $90^{\circ }$ (координатно видно, что векторные разности образуют ортонормированный набор), значит $M_1{M}_2{M}_3{M}_4$ — квадрат.
3) Отношение масштабов и параллельность: все проекции $M_i$ на плоскость основания дают средние точки сторон $A,B,C,D$, поэтому плоскость квадрата параллельна плоскости основания и квадрат $M_1{M}_2{M}_3{M}_4$ подобен основанию $ABCD$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$:
$$M_1{M}_2{M}_3{M}_4\sim ABCD,k=\frac{1}{2}.$$
4) Ортогональность: ось пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания; так как плоскость квадрата параллельна плоскости основания, то
$$SO\perp \text{плоскости}{M}_1{M}_2{M}_3{M}_4.$$ Кроме того, каждое боковое ребро пересекает эту плоскость в своей средней точке $M_i$, и симметрия правильной пирамиды даёт равные наклоны боковых рёбер к плоскости квадрата.
Итого: сечение плоскостью, проходящей через середины двух (а на самом деле через все четыре) не смежных боковых рёбер правильной квад. пирамиды даёт квадрат, параллельный основанию и подобный ему в отношении $1:2$; ось пирамиды перпендикулярна этой плоскости (ортогональность).