Краткая хронология и сущность перехода.
1) Евклид (ок. IV в. до н.э.).
- В системе Евклида отдельно стоит Пятый постулат (в классическом формулировке): через точку вне данной прямой проходит не более одной прямой, не пересекающей данную. Часто используется эквивалент Playfair: $\text{Через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной.}$
- Многие классические теоремы (сумма углов треугольника = два прямых угла, теорема о подобии, наличие прямоугольников, классическая теорема Пифагора) в доказательствах опирались прямо или косвенно на этот постулат.
2) Попытки доказать постулат из остальных аксиом (с XVI по XVIII вв.).
- Множество попыток (включая Проклу, Птоlemeя в древности; в Новое время — Л. Эйлер и др.) привели к работе над отрицанием постулата: изучались следствия его отрицаний.
- Saccheri (остров Сакери, 1733) и Lambert рассматривали «саккериевы» и «ламбертовы» квадрилатералы, получая три возможных случая для «вершинного угла» (прямой, острый, тупой) — пытались получить противоречие при отрицании постулата; обнаружили, что острый/тупой случаи не противоречат остальным аксиомам.
3) Открытие неевклидовых геометрий (XIX в.).
- Лобачевский и Боляй (независимо) построили полноценную гиперболическую геометрию, где через точку вне прямой проходят как минимум две скрещивающиеся с данной прямые, не пересекающие её на одной стороне (существуют бесконечно многие «параллельные» в том смысле, что не пересекаются).
- Риман (1854) предложил модель с положительной кривизной (эллиптическая/сферическая геометрия), где вообще нет параллельных прямых: любые две геодезические пересекаются.
- Эти работы показали: Пятый постулат независим от остальных евклидовых аксиом — обе альтернативы (отрицание и утверждение) дают непротиворечивые теории, если сама евклидова теория непротиворечива.
4) Модели и формализация (конец XIX — начало XX вв.).
- Белтрами, Клейн, Пуанкаре построили конкретные модели гиперболической геометрии в евклидовом пространстве (псевдосфера, модель Клейна, модель Пуанкаре), что дало относительную консистентность.
- Гильберт (1899) и далее Таксри формализовали аксиомы; было чётко выделено «абсолютная» (нейтральная) геометрия — всё, что выводится из евклидовых аксиом, кроме Пятого.
Какие аксиомы/утверждения менялись и какие следствия это имело
- Изменялась именно аксиома о параллельности (Пятый постулат). В разных теориях её заменяли на:
- Евклидова: $\text{через внешнюю точку проходит ровно одна параллельная прямая}$ (Playfair).
- Гиперболическая: через внешнюю точку проходит более одной непересекающей прямой (существуют две предельные параллели/асимптотические прямые).
- Эллиптическая: через внешнюю точку не проходит ни одной непересекающей прямой (все геодезические пересекаются).
- Основные изменившиеся следствия:
- Сумма углов треугольника: в евклидовой геометрии $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$; в гиперболической—$\alpha +\beta +\gamma <180^{\circ }$ (дефект углов пропорционален площади), в эллиптической—$\alpha +\beta +\gamma >180^{\circ }$.
- Подобие треугольников: в евклидовой геометрии возможны подобные, но не конгруэнтные треугольники; в гиперболической/эллиптической геометрии нет нетривиальных подо́бий: широко, утверждения о подобии в их евклидовом виде либо ложны, либо приводят к конгруэнтности.
- Прямоугольники: существование прямоугольника (четырёхугольник с четырьмя прямыми углами) эквивалентно параллельному постулату в ряде аксиоматик — в гиперболической геометрии немыслимы; в сферической (эллиптической) возможны «правые» квадраты (на сфере можно иметь четыре прямых угла), но их свойства отличаются (сумма углов и площади и т.д.).
- Теоремы о площади: в гиперболической геометрии площадь треугольника пропорциональна его угловому дефекту: $\text{Area}=K(\pi -(\alpha +\beta +\gamma ))$ (постоянная $K$ связана с кривизной).
- Теорема Пифагора: в негладкой форме классическая формула $a^2+b^2=c^2$ не сохраняется; в гиперболической/сферической геометрии действует соответствующая формула косинусов (гиперболическая/сферическая): например, сферическая косинусная теорема для сторон $a,b,c$ и противолежащего угла $\gamma$: $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma$. Аналогично в гиперболической геометрии появляются гиперболические функции.
Какие теоремы остаются «абсолютными» (не зависят от V)
- Из большинства первоначальных евклидовых аксиом без Пятого следует множество геометрий (нейтральная геометрия). Теоремы, выводимые в этой системе, сохраняются во всех трех типах: например, равенство вертикальных углов, признаки равенства треугольников (SAS, ASA в подходящей аксиоматике), теорема о равенстве углов при вершине равнобедренного треугольника и др.
Влияние на методы доказательства
- До XIX в. многие доказательства скрытно использовали факты, эквивалентные Пятому постулату; после открытия неевклидовых геометрий появилась строгая дисциплина: доказать утверждение нужно либо в нейтральной геометрии (без V), либо явно с использованием параллельности.
- Для гиперболической и эллиптической геометрий классические евклидовы доказательства чаще не годятся: требуется учитывать кривизну (геодезические вместо «прямых»), использовать модели (Клейн, Пуанкаре) или дифференциально-геометрические инструменты (геодезические, формулы косинусов). Многие «евклидовы» формулы получают аналоги с тригонометрическими (синус/косинус или гиперболические функции) поправками, причём доказательства становятся метрико-геометрическими, а не чисто евклидовыми построениями.
Итог (коротко)
- Параллельность перешла от евклидовой единственной линии к трём логически непротиворечивым вариантам: уникальная параллель (Евклид), множество/предельные параллели (Гипербола), отсутствие непересекающихся прямых (Эллипсис).
- Это изменение аксиомы привело к принципиально различным следствиям: сумма углов треугольника, теория подобия, формулы площади и Пифагора меняются; одновременно выделились «абсолютные» результаты, независимые от постулата о параллельности.
- Сделан ещё один качественный шаг: понятие «параллельности» стало частным случаем более общей идеи о геодезической и левой/параллельной транспортировке в римановой геометрии, где «параллельность» зависит от кривизны и связности, а не только от локальной инцидентности прямых.