Кратко — два общих метода, формулы и замечания по числовой устойчивости.
Нотация: вершины $A=(x_A,y_A),B=(x_B,y_B),C=(x_C,y_C)$. длины сторон: $a=\Vert B-C\Vert ,b=\Vert C-A\Vert ,c=\Vert A-B\Vert$, где для стабильности длину вычислять через $\mathrm{hypot}$: $\Vert u\Vert =\sqrt{u_x^2+u_y^2}$.
1) Векторный / барицентрический метод (рекомендуемый)
- Формула центра вписанной окружности (инцентр) как взвешенная сумма вершин:
$$I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c},$$ т. е.
$$I_x=\frac{a{x}_A+b{x}_B+c{x}_C}{a+b+c},I_y=\frac{a{y}_A+b{y}_B+c{y}_C}{a+b+c}.$$ - Реализация: сначала найдите $a,b,c$ через $\mathrm{hypot}$, затем вычислите веса $\alpha =a/(a+b+c)$ и т.д. Можно дополнительно вычислить радиус $r=\frac{\text{Area}}{s}$ с $s=(a+b+c)/2$ и $\text{Area}=\frac{1}{2}|(B-A)\times (C-A)|$, чтобы проверить результат (расстояния от $I$ до сторон равны $r$).
2) Аналитический метод — пересечение биссектрис через векторные направления
- Направление биссектрисы в вершине $A$:
$$d_A=\frac{B-A}{\Vert B-A\Vert }+\frac{C-A}{\Vert C-A\Vert }.$$ Аналогично $d_B$.
- Параметризация биссектрис: $L_A:A+t{d}_A,L_B:B+s{d}_B$. Решая
$$A+t{d}_A=B+s{d}_B$$ для $t$ и $s$, получаем (через детерминант)
$$t=\frac{\det (B-A,d_B)}{\det (d_A,d_B)},I=A+t{d}_A,$$ где $\det (u,v)=u_x{v}_y-u_y{v}_x$.
- Этот метод даёт явное пересечение двух прямых и использует нормированные направления.
Сравнение числовой устойчивости и практические советы
- Барицентрическая формула требует только вычисления длин сторон и линейной комбинации вершин. При использовании $\mathrm{hypot}$ для длин она обычно наиболее устойчива и простая: не решается система уравнений, мало риска потери точности из-за деления на малые детерминанты.
- Метод через суммирование единичных векторов (биссектрис) может терять точность, если в одной вершине угол очень острый или почти развернутый: суммы двух почти противоположных единичных векторов дают значительную потерю значащих цифр. Кроме того, решение 2×2 системы нестабильно, когда детерминант $\det (d_A,d_B)$ близок к нулю (биссектрисы почти параллельны) — что случается в близких к вырожденным треугольниках.
- Вырожденные или «тонкие» треугольники (точки почти на одной прямой или очень маленькие стороны) плохо обрабатываются обоими методами, но барицентрический обычно даёт более надёжный результат в двойной точности.
- Практические рекомендации: использовать барицентрическую формулу; вычислять расстояния через $\mathrm{hypot}$; при подозрении на вырожденность проверять площадь (если $\text{Area}$ близка к нулю — результаты ненадёжны). Можно дополнительно проверить результат по равенству расстояний от $I$ до всех трёх сторон и по формуле радиуса $r=\text{Area}/s$.
Вывод: для большинства задач применяйте
$$I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$$ с аккуратным вычислением $a,b,c$ через $\mathrm{hypot}$. Метод пересечения биссектрис полезен для геометрической интерпретации или векторных реализаций, но менее устойчив при почти вырожденных углах.