Формулировка. Для выпуклого сферического n-угольника на сфере радиуса $R$ с внутренними углами ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ площадь $S$ равна
$$S=R^2(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i-(n-2)\pi ).$$ Для треугольника ($n=3$) это формула Гирара:
$$S=R^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi ),$$ где $\alpha ,\beta ,\gamma$ — его углы; величина $\alpha +\beta +\gamma -\pi$ называется сферическим излишком.
Краткое доказательство для треугольника (метод лун). Пусть $T$ — сферический треугольник с углами $\alpha ,\beta ,\gamma$. Луна, соответствующая углу $\alpha$, — это область, ограниченная двумя великими кругами, проходящими через стороны, смежные с вершиной угла $\alpha$; площадь этой луны равна $2\alpha R^2$. Аналогично для других двух лун. Сумма площадей трёх лун равна
$$2(\alpha +\beta +\gamma )R^2.$$ При подсчёте покрытия оказывается, что эта сумма равна площади сферы $4\pi R^2$ плюс четыре площади треугольника $T$, т.е.
$$2(\alpha +\beta +\gamma )R^2=4\pi R^2+4S.$$ Отсюда
$$S=R^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi ).$$
Обобщение на n-угольник. Разбив n-угольник на $(n-2)$ сферических треугольников (через одну вершину), суммируя формулы для треугольников, получаем
$$S=R^2(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i-(n-2)\pi ).$$ Более элегантное и обобщающее доказательство даёт теорема Гаусса–Бонне: для области с геодезическими сторонами на поверхности постоянной гауссовой кривизны $K$ справедливо $\sum {\alpha }_i-(n-2)\pi =K\cdot S$. Для сферы $K=1/R^2$, отсюда тот же результат.
Отличия от евклидовой плоскости:
- В евклидовой плоскости гауссова кривизна $K=0$, поэтому $\sum {\alpha }_i=(n-2)\pi$ и сферический излишек равен нулю. На сфере $\sum {\alpha }_i>(n-2)\pi$ для выпуклых многоугольников.
- На сфере площадь связана напрямую с отклонением суммы углов от плоской формулы; в плоскости сумма углов не даёт площади.
- При отрицательной кривизне (гиперболическая геометрия) наоборот $\sum {\alpha }_i<(n-2)\pi$.
- Требования: формула на сфере корректна для многоугольников с геодезическими (дугами великих кругов) сторонами; для произвольных кривых нужно учитывать кривизну дуг (полная формула Гаусса–Бонне). Также возможны тонкости при многоугольниках, содержащих анти- точки (углы >$\pi$) — тогда понятие «внутреннего» угла и ориентации нужно уточнять.