Уточнение (предположение). Под «невырожденными контурами» возьмём два гладких замкнутых строго выпуклых контура $C_1,C_2$ на плоскости (для общих нестрогих или несвязных случаев формулировки аналогичны, см. замечание в конце). Далее $u(\theta )=(\cos \theta ,\sin \theta )$.
1) Формулировка условия.
Вводим опорные (support) функции
$$h_i(\theta )=\underset{x\in C_i}{\max }x\cdot u(\theta ),i=1,2.$$ Линия с нормалью $u(\theta )$ и расстоянием $h$ от начала задаётся уравнением $x\cdot u(\theta )=h$ и является опорной (касательной) к $C_i$ тогда и только тогда, когда $h=h_i(\theta )$. Следовательно: существует общая касательная к $C_1$ и $C_2$ тогда и только тогда, когда найдётся $\theta$ такое, что
$$h_1(\theta )=h_2(\theta ).$$
2) Доказательство существования (условие втеря).
Функции $h_i(\theta )$ непрерывны и $2\pi$-периодичны; при строгой выпуклости они даже класс $C^1$. Рассмотрим функцию
$$f(\theta )=h_1(\theta )-h_2(\theta ).$$ Наличие общего касателя эквивалентно тому, что $f(\theta )=0$ для некоторого $\theta$. По непрерывности, если $f$ принимает значения разных знаков на некотором интервале (в частности, если $\min f<0<\max f$), то по теореме о среднем значении (теореме о непрерывных функциях) существует точка $\theta$ с $f(\theta )=0$. Противоположно: если $f(\theta )$ строго положительна (или строго отрицательна) при всех $\theta$, то ни одной общей касательной нет (это соответствует одному контуру полностью «внутри» другого по нормалям).
3) Условие единственности.
Пусть мы рассматриваем $\theta$ в полуинтервале $[0,\pi )$ (направления $\theta$ и $\theta +\pi$ дают параллельные линии, потому достаточно этого интервала). Корень ${\theta }_0$ функции $f$ даёт общую касательную. Корень будет изолирован и тогда единственный, если он простой, т.е.
$$f({\theta }_0)=0\text{и}{f}^{\prime }({\theta }_0)\ne 0.$$ Действительно, при $f^{\prime }({\theta }_0)\ne 0$ по теореме о неявной функции корень локально единственен; если кроме того функция $f$ имеет ровно один корень на $[0,\pi )$, то соответствующая общая касательная единственна (с точностью до параллельного направления с противоположной нормалью).
Замечание о геометрическом смысле производной: при гладкости и строгой выпуклости $h_i^{\prime }(\theta )$ — координата точки касания вдоль перпендикуляра, поэтому $f^{\prime }({\theta }_0)\ne 0$ означает, что касательные точки на двух контурах не «скользят» синхронно при изменении направления — пересечение графиков поддержки трансверсально.
4) Итог (кратко).
- Необходимое и достаточное условие существования общей касательной: существует $\theta$ такое, что $h_1(\theta )=h_2(\theta )$. Практически это проверяется по смене знака функции $f(\theta )=h_1(\theta )-h_2(\theta )$.
- Единственность обеспечивается тем, что уравнение $h_1(\theta )=h_2(\theta )$ имеет ровно один простой корень на $[0,\pi )$ (эквивалентно $f({\theta }_0)=0,f^{\prime }({\theta }_0)\ne 0$ и отсутствию других корней).
Если контуры нестрого выпуклые или не гладкие, аналогичные формулировки делаются через множественные опорные значения $h_i$ и количество общих опорных линий может быть больше; для произвольных (не выпуклых) контуров анализ сложнее и требует учёта локальной конфигурации (возможны многочисленные бикасательные и касания более высокой кратности).