Кратко о геометрическом моделировании света
- Лучи и поверхности: в геометрической оптике свет моделируется прямолинейными лучами; при пересечении поверхности луч либо отражается, либо преломляется — поведение задаётся местным законом на плоскости падения (плоскость, содержащая падающий луч и нормаль).
- Закон отражения (плоская или изогнутая поверхность): угол падения равен углу отражения,
$\angle i=\angle r$.
Практически: от точки источника дорисовывают нормаль в точке падения и строят симметричное положение отражённого луча относительно нормали. Для плоского зеркала удобно метод изображений: отражённую траекторию от точки A до цели B соответствует прямой от A до зеркального изображения B'.
- Закон преломления (Снеллиус):
$$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2,$$ где $\theta$ — угол с нормалью, $n$ — показатель среды. Построение: в точке пересечения проводим нормаль, измеряем ${\theta }_1$, затем по Снеллиусу на другой стороне строим ${\theta }_2$ и проводим луч.
- Зеркала и линзы (приближения):
- Сферическое зеркало (параксиальное приближение): фокусное расстояние $f=\frac{R}{2}$, где $R$ — радиус кривизны.
- Параболическое зеркало: параллельные лучи сходятся точно в фокусе.
- Тонкая линза (параксиально): тонкая линза удовлетворяет уравнению
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i},$$ где $d_o$ и $d_i$ — расстояния до предмета и изображения; увеличение $m=-\frac{d_i}{d_o}$.
- Главные лучи для линзы/зеркала: луч через центр линзы не отклоняется; параллельный луч проходит через фокус и наоборот — эти три луча помогают быстро построить изображение.
Задачи-разминки (отражение)
1) Плоское зеркало и цель
Условие: плоское вертикальное зеркало расположено вдоль прямой $x=0$. Точка источника $A(-3,2)$. Нужно найти точку $P$ на зеркале, через которую луч от $A$ должен отразиться, чтобы попасть в точку $B(4,1)$.
Подсказка/решение: отразите точку $B$ относительно линии $x=0$ в точку $B^{\prime }(-4,1)$. Прямая $A{B}^{\prime }$ пересекает ось $x=0$ в нужной точке $P$. Точка пересечения даётся решением системы прямой через $A$ и $B^{\prime }$ с $x=0$.
2) Два плоских зеркала под углом
Условие: два зеркала пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha =30^{\circ }$. Луч падает на первый зеркало под углом $\varphi =10^{\circ }$ относительно биссектрисы угла между зеркалами. Каков угол выхода после двух последовательных отражений?
Подсказка/решение: композиция отражений относительно двух прямых, пересекающихся под углом $\alpha$, даёт поворот на угол $2\alpha$. Следовательно направление луча поворачивается на $2\alpha =60^{\circ }$ относительно исходного. Если начальный угол относительно биссектрисы был $\varphi$, итоговый угол будет $\varphi +2\alpha$ (с учётом ориентации).
3) Концентрирующее свойство сферического зеркала (параксиально)
Условие: вогнутое сферическое зеркало с радиусом кривизны $R=10$ см. Параллельный луч падает на зеркало на высоте $h=2$ см от оси. Найти приближенное положение пересечения луча с осью (фокус).
Подсказка/решение: фокус $f=\frac{R}{2}=5$ см. В параксиальном приближении параллельный луч пересекает ось в точке, близкой к фокусу, поэтому пересечение примерно на расстоянии $f$ от вершины. Точная геометрическая постройка: провести через точку на зеркале радиус к центру $C$ и отразить луч симметрично относительно радиуса.
4) Зеркальный «коридор» (параллельные зеркала)
Условие: два плоских зеркала параллельны и разнесены на расстояние $d=4$ см. Луч входит между ними под углом $\theta =30^{\circ }$ относительно нормали и ударяется о ближайшее зеркало в точке на высоте $y_0=1$ см от входа. Найти положение следующего удара на противоположном зеркале (в терминах высоты от начала).
Подсказка/решение: отражения между параллельными плоскостями эквивалентны прямолинейному движению в «развернутом» пространстве: можно отразить второе зеркало и провести прямую. Горизонтальное (поперечное) сдвиг между ударами равен $\Delta y=d\tan \theta$. Следовательно следующая точка на противоположном зеркале будет на высоте $y_1=y_0+\Delta y=y_0+d\tan \theta$. Здесь $\tan \theta$ вычислить через $\theta$.
Как решать такие задачи — краткая инструкция
- Всегда начните с построения луча и нормали в точке пересечения.
- Для плоского зеркала применяйте метод изображений (отразите цель или источник), это переводит задачу в простое пересечение прямой.
- Для последовательных отражений отражайте по очереди направление или используйте геометрическое преобразование (композиция отражений = поворот).
- Для изогнутых зеркал пользуйтесь свойством нормали: нормаль проходит через центр кривизны; для параксиальных лучей можно применять формулы $f=\frac{R}{2}$.
- Для преломления используйте Снеллиус и проводите нормаль в точке падения.
Если хотите, могу привести развернутые решения к любому из примеров или добавить задачи с преломлением и линзами.