Гомотетия, вращение и параллельный перенос — три базовых аффинно-геометрических преобразования; кратко и формально:
Определения (формально)
- Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$: отображение $H_{O,k}$, для любой точки $X$ дающее точку $X^{\prime }$ на луче $OX$ такую, что $O{X}^{\prime }=kOX$. В координатах при $O=(0,0)$: $(x,y)\mapsto (kx,ky)$. При общем $O$: $X^{\prime }=O+k(X-O)$.
- Вращение вокруг центра $O$ на угол $\phi$: отображение $R_{O,\phi }$, для любой точки $X$ дающее $X^{\prime }$ такое, что $\angle XO{X}^{\prime }=\phi$ и $O{X}^{\prime }=OX$. В координатах при $O=(0,0)$: $(x,y)\mapsto (x\cos \phi -y\sin \phi ,x\sin \phi +y\cos \phi )$.
- Параллельный перенос по вектору $v$: отображение $T_v$, задаваемое $X\mapsto X+v$. В координатах: $(x,y)\mapsto (x+v_x,y+v_y)$.
Сохранение/несохранение инвариантов (примеры)
- Углы: все три сохраняют величины углов (все являются симметриями или подобиями), т.е. для любых лучей/отрезков угол между образом равен исходному.
- Длины:
- Вращение и параллельный перенос сохраняют длины: $|X^{\prime }{Y}^{\prime }|=|XY|$ для $R_{O,\phi }$ и $T_v$.
- Гомотетия масштабирует длины одинаково: $|X^{\prime }{Y}^{\prime }|=|k|\cdot |XY|$. Следовательно, абсолютные расстояния сохраняются только если $|k|=1$.
- Отношения длин:
- Все три сохраняют отношения длин между любыми двумя отрезками, т.к. вращение и сдвиг сохраняют длины, а гомотетия умножает все длины на один и тот же множитель $k$, поэтому $\frac{|A^{\prime }{B}^{\prime }|}{|C^{\prime }{D}^{\prime }|}=\frac{|AB|}{|CD|}$.
- Параллельность и коллинеарность:
- Параллельный перенос и гомотетия сохраняют параллельность всех прямых (прямая не проходящая через центр гомотетии переходит в параллельную ей); вращение в общем не сохраняет параллельность (кроме случая поворота на $0$ или $\pi$). Все три сохраняют коллинеарность и отношения деления отрезков (как аффинные преобразования).
- Ориентация:
- Вращение и сдвиг сохраняют ориентацию. Гомотетия сохраняет ориентацию при $k>0$ и меняет при $k<0$ (для $k<0$ дополнительно эквивалентна композиции с поворотом на $\pi$ относительно центра).
- Примеры свойств образов фигур:
- Круг при гомотетии переходит в круг радиуса, умноженного на $|k|$; при вращении/сдвиге радиус не меняется.
Краткие замечания о классификации
- Вращение и параллельный перенос — изометрии (сохраняют расстояния); гомотетия — частный случай подобия (не обязательно изометрия). Любая композиция вращения/переноса/гомотетии — общая подобия (в частности, композицией гомотетии и поворота/сдвига получают все ориентационно- и масштабно-изменяющие подобия).
Применение в задачах геометрической конструкции (коротко, с примерами)
- Гомотетия:
- Построение подобной фигуры заданного масштаба (масштабирование отрезка/многоугольника).
- Поиск центров подобия двух окружностей (внутренний и внешний центры пересечения прямых, соединяющих соответствующие точки касания общих касательных).
- Рецепты для задач типа Апполония (по отношению расстояний) и задач с подобными треугольниками (включая деление отрезков в заданном отношении).
- Вращение:
- Конструкции, требующие сохранения расстояний и углов: построение симметричных фигур, перенос углов, доказательство равенства треугольников через поворот (метод поворота широко используют для укладки отрезков и доказательств).
- Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними; применение при построении центров описанной/вписанной окружности (поворот помогает свести задачу к совмещению отрезков).
- Параллельный перенос:
- Упрощение конфигурации: сдвиг фигуры так, чтобы удобная точка оказалась в начале координат или на прямой; часто используют при применении координатного метода.
- Конструкции параллельных прямых, составление параллелограммов, перенос отрезков для сравнения и наложения (компас+линейка): перенос отрезка без изменения длины.
- Общие приёмы:
- Чтобы свести задачу о подобии к задаче о равенстве, применяют гомотетию с нужным коэффициентом.
- Для доказательства существования/единичности решения часто используют сочетание переноса и поворота (чтобы совместить две фигуры) или гомотетию (чтобы согласовать масштабы).
Короткие примеры:
- Найти точку $X$ на луче $OA$ такую, что $OX=2\cdot OA$ — прямая гомотетия с $k=2$: $X=H_{O,2}(A)$.
- Совместить отрезок $AB$ с $CD$ равной длины — применить параллельный перенос или поворот так, чтобы совпали соответствующие ориентиры.
- Построить касательные к двум окружностям — часто сначала находят центры подобия (гомотетии) этих окружностей, через которые проходят общие касательные.
Заключение (вкратце)
- Вращение и параллельный перенос — изометрии: сохраняют длины и углы; гомотетия — подобие: сохраняет углы и относительные размеры (отношения длин), но масштабирует абсолютные длины на $|k|$. Все три сохраняют коллинеарность и отношения деления отрезков; выбор типа преобразования в конструктивных задачах зависит от того, нужно ли сохранять длины (используют перенос/поворот) или работать с подобием/масштабом (используют гомотетию).