Кратко: обозначим центры — $O$ (опис. центр), $G$ (центр тяжести), $I$ (вписанный центр). Требуем коллинеарность $O,G,I$. Полный разбор ниже.
1) Координатная отправная точка (удобный вариант).
Поместим рассуждение в барицентрические/трилинейные координаты относительно треугольника $ABC$. В трилинейных координатах
$I=(1:1:1)$, $O=(\cos A:\cos B:\cos C)$. В барицентриках $G=(1:1:1)$, $I=(a:b:c)$, а для $O$ можно взять пропорциональные компонентам $({\sin }^{2}A\cos A:{\sin }^{2}B\cos B:{\sin }^{2}C\cos C)$ (так как $a\propto \sin A$, и трилинейные $\sin 2A$ переходят в барицентрические с множителем $a$).
Коллинеарность трёх точек в барицентриках эквивалентна нулю детерминанта $3\times 3$:
det⁡(1sin⁡Asin⁡2Acos⁡A1sin⁡Bsin⁡2Bcos⁡B1sin⁡Csin⁡2Ccos⁡C)=0. \det
\begin{pmatrix}
1 & \sin A & \sin^2A\cos A\\[4pt]
1 & \sin B & \sin^2B\cos B\\[4pt]
1 & \sin C & \sin^2C\cos C
\end{pmatrix}=0.
det 111 sinAsinBsinC sin2AcosAsin2BcosBsin2CcosC =0.
2) Преобразование детерминанта.
Разложение детерминанта даёт (после элементарных преобразований и использования $\sin 2A=2\sin A\cos A$):
$$\sum _{\text{cyc}}{\sin }^{2}A\cos A(\sin C-\sin B)=0.$$ Это эквивалентная компактная форма необходимого и достаточного условия.
3) Факторизация — семейства треугольников.
Рассмотрим полученное уравнение. Оно фактически факторизуется так, что возможны два типа решений.
(a) Случай изосцелесов. Если хотя бы две величины $\sin A,\sin B,\sin C$ равны, то строки матрицы линейно зависимы и детерминант равен нулю. Это происходит тогда и только тогда, когда два угла равны, т.е. треугольник изосцелес (включая равносторонний). Для всех изосцелесов $O,G,I$ лежат на оси симметрии — следовательно коллинеарны.
(b) Случай скалярный (неизосцелесный). Если все $\sin A,\sin B,\sin C$ попарно различны, то из детерминанта получаем невырожденное уравнение, которое задаёт одно–параметрическое (непрерывное) семейство скалярных треугольников:
$$\sum _{\text{cyc}}{\sin }^{2}A\cos A(\sin C-\sin B)=0.$$ Это уравнение можно привести к различным эквивалентным формам (через суммы и произведения косинусов, через $\sin 2A$ и т.д.), но оно остаётся односкладывающимся уравнением на два независимых угла $A,B$ (т.е. задаёт одномерное множество решений в пространстве треугольников). Следовательно, помимо изосцелесов существуют бесконечно многие скалярные треугольники, удовлетворяющие этому соотношению; они образуют одно-параметрическое семейство.
4) Итог и замечания.
- Полный ответ: центры $O,G,I$ коллинеарны тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух:
1) треугольник изосцелес (включая равносторонний); или
2) треугольник скалярный и его углы удовлетворяют уравнению
$$\sum _{\text{cyc}}{\sin }^{2}A\cos A(\sin C-\sin B)=0.$$ - Уравнение (2) можно при желании алгебраически преобразовать в другие эквивалентные формы (через $\sin 2A$, через суммы косинусов и т.п.); это даёт явное (но громоздкое) условие на углы. Для практики: для каждого фиксированного $A$ это уравнение даёт обычно два значения $B$ (и соответствующее $C=\pi -A-B$), т.е. действительно одно-параметрическое семейство скалярных решений.
- Частный тривиальный случай: равносторонний треугольник — все центры совпадают.
Если нужно, приведу аккуратное алгебраическое приведение уравнения к удобной форме (через $\sin 2A$ или через косинусы) и/или несколько конкретных численных примеров скалярных треугольников, удовлетворяющих условию.