Критерий (формулировка).
В треугольнике ABC точки пересечения медиан (центроид) $G$, биссектрис (инцентр) $I$ и высот (ортoцентр) $H$ коллинеарны тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный (т.е. хотя бы два из сторон $a=BC,b=CA,c=AB$ равны).
Доказательство 1 (барицентрические координаты).
1) Запишем барицентрические координаты относительно треугольника $ABC$:
$G=(1:1:1)$, $I=(a:b:c)$, $H=(\tan A:\tan B:\tan C)$.
2) Три точки с барицентрическими координатами $(x_1:y_1:z_1)$, $(x_2:y_2:z_2)$, $(x_3:y_3:z_3)$ коллинеарны тогда и только тогда, когда детерминант
∣x1y1z1x2y2z2x3y3z3∣=0. \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1\\[2pt]
x_2 & y_2 & z_2\\[2pt]
x_3 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}=0.
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 =0. Подставляя $G,I,H$, получаем условие
∣111abctan⁡Atan⁡Btan⁡C∣=0. \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
a & b & c\\
\tan A & \tan B & \tan C
\end{vmatrix}=0.
1atanA 1btanB 1ctanC =0. Вычисление детерминанта даёт эквивалентное уравнение
$$(c-b)\tan A+(a-c)\tan B+(b-a)\tan C=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$
3) Положим $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$. Подставляя и умножив (1) на положительное число $\cos A\cos B\cos C$, после стандартных тригонометрических преобразований (используя формулы для синусов и косинусов углов и тождества для разности синусов) можно привести левую часть к виду
$$K(a-b)(b-c)(c-a),$$ где $K>0$ для невырожденного треугольника. Отсюда из (1) следует
$$(a-b)(b-c)(c-a)=0,$$ то есть хотя бы два из $a,b,c$ равны. Обратно, если, скажем, $a=b$, то $A=B$ и в (1) левая часть равна нулю, значит $G,I,H$ коллинеарны.
Таким образом, барицентрический критерий даёт требуемое утверждение.
Доказательство 2 (векторный, выбор системы координат).
1) Методика выбора системы координат: удобно взять начало в центре описанной окружности $O$ (или взять радиус $R=1$), тогда вершины $A,B,C$ имеют векторные координаты одинаковой длины: $|A|=|B|=|C|=R$. В таком выборе записи для ортoцентра и центроида просты:
$$H=A+B+C,G=\frac{1}{3}(A+B+C).$$ Инцентр имеет выражение в барицентрической форме, которое в векторной записи при этом выборе даёт
$$I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c},$$ потому что векторно-интерпретируемая барицентрическая формула сохраняется при любом выборе начала.
2) Условие коллинеарности $G,I,H$ эквивалентно тому, что векторы $I$ и $H$ сонаправлены (поскольку $G$ пропорционален $H$). Значит существуют скаляры $\lambda ,\mu$ такие, что
$$I=\lambda H=\lambda (A+B+C).$$ Подставляя формулу для $I$ и группируя по $A,B,C$, получаем систему коэффициентов:
$$\frac{a}{a+b+c}=\lambda ,\frac{b}{a+b+c}=\lambda ,\frac{c}{a+b+c}=\lambda .$$ Отсюда $a=b=c$ или, в частном случае, по крайней мере два из коэффициентов должны совпасть, то есть хотя бы два из $a,b,c$ равны. (Точнее: если $A,B,C$ неколлинеарны как в треугольнике, то равенство линейных комбинаций по трём независимым векторам означает равенство соответствующих скалярных коэффициентов.)
Таким образом, из векторного подхода также следует, что коллинеарность возможна только при равенстве двух сторон — т.е. треугольник равнобедренный; обратная часть очевидна по симметрии.
Заключение по методике выбора системы координат.
- Барицентрические координаты удобны для работы с точками, заданными пересечением медиан/биссектрис/высот, поскольку их координаты имеют простую выраженную форму (например, $G=(1:1:1),I=(a:b:c),H=(\tan A:\tan B:\tan C)$), и коллинеарность сводится к нулю детерминанта.
- Векторный (или комплексный) подход целесообразен при выборе начала в центре описанной окружности $O$ (или в центре тяжести), потому что это сильно упрощает выражения для $H$ и $G$ и даёт прямую проверку соотношений линейной зависимости.
Итог: $G,I,H$ коллинеарны тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный.