Коротко: утверждение ложно в общем случае. Множество точек с постоянной суммой расстояний до трёх фиксированных неколлинеарных точек не является поверхностью второго порядка; в общем оно задаётся алгебраическим уравнением четвёртой степени и представляет собой замкнутую строго выпуклую гладкую поверхность (уровень выпуклой функции сумм модулей расстояний).
Доказательство (схема).
1) Обозначения. Пусть фиксированы точки $A_1,A_2,A_3$ с координатами ${\mathbf{a}}_i$. Для переменной точки $\mathbf{x}=(x,y,z)$ положим $r_i=|\mathbf{x}-{\mathbf{a}}_i|$. Условие множества:
$$r_1+r_2+r_3=S,$$ где $S$ — заданная константа.
2) Устранение корней. Перепишем как $r_3=S-r_1-r_2$ и возведём в квадрат, затем ещё раз, чтобы избавиться от всех радикалов. После двух последовательных возведений в квадрат получаем равенство вида
$$P(x,y,z)=0,$$ где $P$ — многочлен от координат степени $4$. (Действительно, каждый $r_i$ содержит квадратный корень от квадратичной функции, одно возведение в квадрат даёт выражение с членом $\sqrt{(\cdot )}$, второе — полностью устраняет радикал и даёт полином степени $4$.)
3) Исключение возможности квадрики. Поверхность второго порядка описывается многочленом степени $\le 2$. Поскольку у нас (при трех различ­ных, неколлинеарных фокусах и общем значении $S$) получается полином степени $4$ с ненулевыми членами четвёртой степени, множества, задаваемое исходным уравнением, не может совпадать с квадрикой. (Можно привести частный пример для наглядности: положим $A_1=(0,0,0),A_2=(b,0,0),A_3=(0,c,0)$ и любой допустимый $S$; явное устранение корней даёт нетривиальный многочлен четвёртой степени.)
4) Характеристика поверхности. Функция $F(\mathbf{x})=r_1+r_2+r_3$ является выпуклой (сумма выпуклых функций), поэтому её уровни $\{\mathbf{x}:F(\mathbf{x})=S\}$ при $S$ больше минимума (минимум достигается в единственной внутренней точке — точке Ферма для трёх точек) задают замкнутые строго выпуклые множества; границы этих множеств — гладкие ($C^{\infty }$) поверхности вне особых случаев (вне совпадений фокусов или попадания фокусов на уровень). В общем случае получаем гладкую замкнутую строго выпуклую поверхность четвертого порядка.
Замечания о вырожденных случаях: при совпадении фокусов и/или при специальных значениях $S$ поверхность может вырождаться (напр., если все три фокуса совпадают, то $r_1+r_2+r_3=3|\mathbf{x}-\mathbf{a}|$ даёт сферу — квадрику). В общем же (три различные неколлинеарные точки) поверхность — не квадрика, а четвертого порядка.