Обозначим центр данного круга $O$, радиус $R$. Пусть переменный круг с центром $X$ проходит через заданную точку $P$ и имеет радиус $r=XP$. Условие касания даёт
- при внешнем касании: $XO=r+R$,
- при внутреннем касании: $XO=|r-R|$ (что эквивалентно $XO=r-R$ при $r>R$).
Во всех случаях получаем
$$XO=XP\pm R⟹|XO-XP|=R.$$ То есть геометрическое место центров $X$ задаётся гиперболой с фокусами в $O$ и $P$ и постоянной разностью расстояний, равной $R$. В координатах (пусть $O=(0,0)$, $P=(d,0)$) это можно записать как
∣x2+y2−(x−d)2+y2∣=R. \Bigl|\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{(x-d)^2+y^2}\Bigr|=R.
x2+y2 −(x−d)2+y2 =R.
Замечания и частные случаи:
- Требование существования гиперболы: $OP>d$ не требуется, но для точки $P$ вне круга имеем $OP>R$, поэтому условие $R<OP$ выполнено и гипербола существует. Две ветви соответствуют внешнему и внутреннему касанию (знаки $\pm$).
- Случай $P$ на бесконечности (предельный в направлении единичного вектора $u$): круги, проходящие через точку на бесконечности, в пределе превращаются в прямые, параллельные этому направлению. Тогда условие «касаться данного круга» даёт ровно две параллельные касательные к данному кругу в этом направлении; геометрическое место центров вырождается в соответствующие «точки на бесконечности» (то есть в два направления нормалей к этим параллельным касательным). Иначе: для направления $u$ касательные прямые имеют расстояние $R$ от $O$ (уравнения $⟨x-O,n⟩=\pm R$ для единичного нормаля $n$ к касательным).