Формулировка. Пусть треугольники $ABC$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ подобны при соответствии $A\leftrightarrow A^{\prime },B\leftrightarrow B^{\prime },C\leftrightarrow C^{\prime }$. Тогда прямые $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ пересекаются в одной точке $S$ (центр центрального подобия, или центр спирального подобия). Кроме того, существует ровно две такие точки (внутренняя и внешняя центры).
Краткая интуиция. Подобие двух отрезков реализуется как композиция поворота и гомотетии относительно некоторой точки (спиральное подобие). Для каждой пары соответствующих отрезков $AB$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }$ центр такой спиральной подобия — пересечение окружностей $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime })$ и $(B{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Для трёх пар отрезков тот же центр одновременно переводит $A\mapsto A^{\prime },B\mapsto B^{\prime },C\mapsto C^{\prime }$, поэтому прямые соединяющие соответствующие вершины проходят через одну точку.
Доказательство через спиральные подобия (стандартное, «геометрия Евклида», но легко переводится в проективный контекст).
1) Возьмём две пары соответствующих вершин, например $A\leftrightarrow A^{\prime }$ и $B\leftrightarrow B^{\prime }$. Пусть точки $X$ и $Y$ — пересечения окружностей $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime })$ и $(B{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ (есть две точки пересечения; одну из них берём, это даёт два центра — внутренний и внешний). Угловая мера на этих двух окружностях даёт
$$\angle AXB=\angle A^{\prime }X{B}^{\prime }.$$ Следовательно треугольники $XAB$ и $X{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ подобны (соответствие сторон через вершины $X$), отсюда отношение расстояний
$$\frac{XA}{X{A}^{\prime }}=\frac{XB}{X{B}^{\prime }}=k$$ и поворот на угол $\angle (AX,A^{\prime }X)=\angle (BX,B^{\prime }X)$. Значит композиция поворота и гомотетии с центром в $X$ переводит отрезок $AB$ в $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
2) Поскольку треугольники $ABC$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ подобны, та же величина масштаба $k$ и тот же поворот переводят $BC$ в $B^{\prime }{C}^{\prime }$ и $AC$ в $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Но уже показано, что центр этой композиции переводит $A\mapsto A^{\prime }$ и $B\mapsto B^{\prime }$; значит он единственным образом переводит всю фигуру, в частности $C\mapsto C^{\prime }$. Поэтому этот центр лежит также на прямой $C{C}^{\prime }$. Следовательно $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ пересекаются в одной точке $S$.
3) Два центра (внутренний/внешний) получаются из двух пересечений соответствующих пар окружностей; они соответствуют двум решениям уравнения «поворот+гомотетия переводит один отрезок в другой».
Проектно-аффинная интерпретация и где это полезнее.
- С точки зрения аффинной геометрии: свойства коллинеарности и пересечения (конкурентности) сохраняются при аффинных преобразованиях. Поэтому, чтобы доказать конкуренцию прямых $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$, можно аффинно упростить конфигурацию (например перевести одну сторону в удобное положение), показать утверждение в «упрощённом» случае (где оно очевидно, например когда треугольники связаны чистой гомотетией), а затем вернуть аффинным обратным преобразованием. Это даёт короткие доказательства в случаях, когда удобно свести задачу к параллельности или гомотетии; полезно в задачах о средних линиях, параллельных переносах и в приложениях, где важны коллинеарности, а не углы.
- С точки зрения проективной геометрии: спиральная подобие естественно описывается как мёбиусово (дробно-линейное) отображение на окружности или как перспективность между наборами точек. Проективный подход даёт обработку вырождений (когда одна из окружностей проходит в касание или в прямую при переходе в бесконечность), позволяет свести утверждение к теоремам типа Дезарга (перспективность от точки ⇔ перспективность от прямой) и работать с инвариантами типа кросс-отношения. Особенно полезно это в обобщениях: центры спиральных подобий для произвольных пар отрезков/дуг, теоремы Понселе–Морли, свойства конфигураций с конусами/кривыми, а также в задачах про проективные отображения окружностей в прямые (тогда пересечения окружностей переходят в пересечения прямых, и центры переводятся в очевидные проективные образы).
Когда такой подход лучше традиционного.
- Когда важны коллинеарность/перспективность, а не метрические величины: аффин/проект. методы позволяют избежать громкого исчисления углов и длин.
- При работе с вырожденными случаями (переход в бесконечность, касание): проект. формулировки естественно включают «точку на бесконечности» и единообразно обрабатывают внешние/внутренние центры.
- В обобщениях и алгоритмических приложениях (компьютерное зрение, проектные преобразования), где удобнее оперировать матрицами аффинных/проектных преобразований, а не геометрическими угловыми соображениями.
Кратко: центральная теорема подобия естественно читается через спиральные подобия (евклидово доказательство), а аффинно/проектно подходы позволяют свести доказательство к более простым коллинеарностям и обрабатывать вырождения и обобщения эффективнее.